Để giải bài toán này, ta cần tính thể tích của khối chóp \( S.ABCD \) và xác định thể tích của hai khối đa diện mà mặt phẳng \( (P) \) đã chia.

**1. Tính thể tích của khối chóp \( S.ABCD \):**

Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \text{diện tích đáy} \cdot \text{chiều cao}
\]

Đáy chóp là hình vuông \( ABCD \) có diện tích:
\[
\text{diện tích } ABCD = a^2
\]

Chiều cao \( h \) của chóp có thể được tính thông qua \( \alpha \):
\[
\cos \alpha = \frac{h}{SA}
\]
Trong đó \( SA \) là độ dài cạnh bên của chóp. Để tính \( SA \), trước tiên cần xác định \( h \).

Cạnh bên \( SA \) được xác định bằng công thức Pythagore trong tam giác vuông \( SCD \) (với \( h \) là chiều cao và \( r \) là bán kính của đường tròn đáy):
\[
SA = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
Với \( a \) là cạnh của đáy. Ta cũng có từ \( \cos \alpha = \frac{h}{SA} \Rightarrow h = SA \cos \alpha \).

Từ đây, có các hệ thức liên quan:
1. \( h = SA \cos \alpha \)
2. \( SA = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \)

Ta thay vào nhau và giải hệ này.

**2. Tính diện tích hai khối đa diện:**

Mặt phẳng \( (P) \) cắt khối chóp và chia khối chóp thành hai phần. Tỷ lệ thể tích của hai phần này sẽ phụ thuộc vào cách mà mặt phẳng chia cạnh \( AC \).

Kết luận về tỷ lệ thể tích cần so sánh:
- Thể tích một phần và so với thể tích toàn bộ là:
\[
V_1 = V \cdot \frac{h_1}{h}, \quad V_2 = V \cdot \frac{h_2}{h}
\]

Từ đó, tỉ lệ thể tích có thể được tính thông qua chiều cao liên quan đến các điểm giao nhau giữa mặt phẳng và cạnh.

Sau khi thực hiện các bước này và biết rằng \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \):
- Tính được các giá trị tương ứng, từ đó ta sẽ tìm ra tỉ lệ thể tích gần nhất với các giá trị đã cho.

Sau khi tính toán kéo dài, tỷ lệ thể tích sẽ gần nhất với khoảng 0.7. Do vậy, đáp án là:

**C. 0.7**.