Để chứng minh rằng \( 11b + 15 + 43a \) chia hết cho 7, ta bắt đầu với điều kiện đầu bài đưa ra là \( (7a + 5 - 21b)(a + 1 - 3b) \) chia hết cho 7.

Ta sẽ xét từng yếu tố trong biểu thức \( (7a + 5 - 21b)(a + 1 - 3b) \) chia hết cho 7 và rút ra các thông tin về \( a \) và \( b \).

1. **Xét yếu tố thứ nhất**:
\[
7a + 5 - 21b \equiv 5 \pmod{7}
\]
Bởi vì \( 7a \equiv 0 \pmod{7} \) và \( -21b \equiv 0 \pmod{7} \).

2. **Xét yếu tố thứ hai**:
\[
a + 1 - 3b \equiv a - 3b + 1 \pmod{7}
\]

Vì cả hai yếu tố phải chia hết cho 7, chúng ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: \( 7a + 5 - 21b \equiv 0 \) thì \( b \equiv 5/21 \) không có nghĩa trong Z.
- Trường hợp 2: \( a + 1 - 3b \equiv 0 \).

Giả sử rằng \( a + 1 - 3b \equiv 0 \):
\[
a \equiv 3b - 1 \pmod{7}.
\]

Thay \( a \) vào \( 11b + 15 + 43a \):
\[
11b + 15 + 43(3b - 1) = 11b + 15 + 129b - 43 = 140b - 28.
\]
Ta cần cộng vào giá trị này modulo 7 để kiểm tra tính chia hết:
\[
140b - 28 = 0b - 0 \equiv 0 \pmod{7}.
\]
Như vậy, \( 11b + 15 + 43a \equiv 0 \pmod{7} \).

Kết luận, \( 11b + 15 + 43a \) chia hết cho 7 là điều đã được chứng minh.