Giả sử đàn gà ban đầu có \( x \) con.

Tuần trước, mẹ Minh bán \( \frac{2}{3}x \) con gà, vì vậy số lượng gà còn lại là:
\[
x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x
\]

Tuần này, mẹ bán \( \frac{3}{4} \) số gà còn lại và thêm \( \frac{1}{4} \) con nữa. Số gà còn lại sau khi bán là:
\[
\frac{1}{3}x - \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} \right)
\]

Ta tính \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}x \):
\[
\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}x = \frac{1}{4}x
\]

Vậy số gà còn lại là:
\[
\frac{1}{3}x - \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}
\]

Tìm mẫu số chung để thực hiện phép trừ. Mẫu số chung của 3 và 4 là 12:
\[
\frac{1}{3}x = \frac{4}{12}x
\]
\[
\frac{1}{4}x = \frac{3}{12}x
\]

Giờ ta có:
\[
\frac{4}{12}x - \frac{3}{12}x - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}x - \frac{1}{4}
\]

Vì đàn gà còn lại là 3 đôi gà, tức là 6 con. Vậy ta có phương trình:
\[
\frac{1}{12}x - \frac{1}{4} = 6
\]

Để giải phương trình này, ta cộng \( \frac{1}{4} \) vào cả hai vế:
\[
\frac{1}{12}x = 6 + \frac{1}{4} = 6 + 0.25 = 6.25 = \frac{25}{4}
\]

Nhân cả hai vế với 12 để giải x:
\[
x = 12 \cdot \frac{25}{4} = 75
\]

Vậy, đàn gà nhà Minh có tất cả **75 con**.