Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán tam giác ABC cân tại A với M là trung điểm của BC, ta thực hiện như sau:

### a. Chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM

Để chứng minh rằng tam giác ABM bằng tam giác ACM, ta sẽ chứng minh rằng chúng có các cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau.

- **Cạnh AM** là chung cho cả hai tam giác ABM và ACM. (Cạnh chung)

- **Cạnh AB** và **cạnh AC**: Theo định nghĩa tam giác cân, ta có AB = AC.

- **Góc BAM** và **góc CAM**: Hai góc này là những góc ở đỉnh A. Vì tam giác ABC cân tại A nên sẽ dẫn đến rằng góc BAM = góc CAM.

Từ những yếu tố trên, chúng ta có:
- AB = AC
- AM (cạnh chung)
- Góc BAM = Góc CAM

Suy ra theo tiêu chuẩn tam giác bằng nhau (cạnh-góc-cạnh), ta có:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \]

### b. Chứng minh góc B = góc C

Từ kết quả ở phần a, vì tam giác ABM và ACM bằng nhau, nên:
- Góc ABM = góc ACM
- Cạnh AM là chung và bằng nhau, và AB = AC.

Do đó, ta có thể suy ra:
\[ \angle ABM = \angle ACM \]

Thêm vào đó, từ đường thẳng BC, ta có:
\[ \angle ABC = \angle ABM + \angle BAM \]
\[ \angle ACB = \angle ACM + \angle CAM \]

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên ta có:
\[ \angle ABC = \angle ACB \]
Vì vậy, ta kết luận rằng:
\[ \angle B = \angle C \]

### c. Chứng minh AC vuông góc BC

Từ hình vẽ tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, chúng ta có:
- Hai góc BAM và CAM bằng nhau (xét ở phần a).
- Do tính đối xứng của tam giác cân, điểm M chia BC thành hai đoạn bằng nhau (BM = MC).

Ta có thể sử dụng Định lý về góc nội tiếp để suy ra rằng:
\[ \angle BAM + \angle CAM = 90^\circ \]
Vì vậy, góc AC vuông góc với BC.

Kết luận:
- AC vuông góc với BC.

Đây là các bước chứng minh cho đề bài. Hy vọng bạn sẽ đạt được 5 sao với bài giải này!