Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ đi qua từng phần một:

**Giả thiết:**
- Tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), nên \(AB = AC\).
- \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).

**a. Chứng minh tam giác \(ABM\) bằng tam giác \(ACM\)**

Ta có các yếu tố sau:
- Cạnh \(AB = AC\) (do \(ABC\) cân tại \(A\)).
- \(AM\) là cạnh chung của hai tam giác \(ABM\) và \(ACM\).
- Điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\).

Suy ra ta có:
- \(ABM \cong ACM\) theo tiêu chuẩn \(S\) (hai cạnh và góc kề).

**b. Chứng minh góc \(B = C\)**

Từ kết quả của phần a, ta có:
\[ ABM \cong ACM \]
Do đó, các góc tương ứng cũng bằng nhau:
\[ \angle ABM = \angle ACM \]
Vì \(M\) là trung điểm và ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) thuộc cùng một tam giác thôi, nên:
\[ \angle B = \angle C \]

**c. Chứng minh \(AM\) vuông góc với \(BC\)**

Kể từ hai tam giác \(ABM\) và \(ACM\ đã bằng nhau, ta có:
- Hai góc \(ABM\) và \(ACM\) có chung đỉnh \(M\) và hai cạnh \(AM\) là cạnh chung.
- Vì tam giác \(ABM\) và \(ACM\) là đồng dạng (chứng minh trong phần a), nên \(AM\) là đường cao của tam giác \(ABC\) tại \(M\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) trong tam giác cân, nên đường cao \(AM\) vuông góc với \(BC\).

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh được:
1. Tam giác \(ABM \cong ACM\).
2. Góc \(B\) bằng góc \(C\).
3. Đường \(AM\) vuông góc với đường \(BC\).

Hy vọng phần giải thích này sẽ giúp bạn rõ ràng hơn về bài toán! Nếu cần thêm sự trợ giúp hoặc hình vẽ cụ thể, bạn có thể vẽ hình theo các bước trên để minh họa cho giải pháp.