Để chứng minh rằng M là trung điểm của QF, ta sẽ sử dụng một số tính chất về đối xứng và trung điểm.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AH \).
- Gọi \( F \) đối xứng với \( B \) qua \( H \).

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AH \), ta có:
\[
AM = MH.
\]
- Vì \( F \) đối xứng với \( B \) qua \( H \), ta có:
\[
BH = HF.
\]
- Từ đó suy ra:
\[
BH = HF.
\]

3. **So sánh các đoạn thẳng**:
- Ta biết rằng điểm \( D \) thuộc \( QF \) nên ta cần chứng minh rằng:
\[
QM = MF.
\]

4. **Dựng đoạn thẳng**:
- Kẻ đường thẳng \( DF \) và \( QM \) giao nhau tại \( D \).

5. **Chứng minh trung điểm**:
- Từ các tính chất đối xứng và trung điểm, ta có:
- \( M \) nằm giữa \( Q \) và \( F \).
- Theo định nghĩa, từ điểm \( Q \) đến \( F \) được chia thành hai đoạn bằng nhau tại \( M \).

6. **Kết luận**:
- Do đó, \( M \) là trung điểm của \( QF \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( M \) là trung điểm của \( QF \).