Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán theo từng phần đã cho.

### a. Tìm \( x \) để \( A = 1 \)

Biểu thức được cho là:

\[
A = \frac{x^3 - 1}{(x - 1)(x + 2)}
\]

Ta có thể rút gọn \( A \) như sau. \( x^3 - 1 \) có thể được phân tích bằng công thức khai phương:

\[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
\]

Vì vậy,

\[
A = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}
\]

Với điều kiện \( x \neq 1 \), ta có thể rút gọn:

\[
A = \frac{x^2 + x + 1}{x + 2}
\]

Bây giờ, ta đặt \( A = 1 \):

\[
\frac{x^2 + x + 1}{x + 2} = 1
\]

Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
x^2 + x + 1 = x + 2
\]

Giảm bớt đi \( x + 2 \):

\[
x^2 + x + 1 - x - 2 = 0
\]

\[
x^2 - 1 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
(x - 1)(x + 1) = 0
\]

Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). Nhưng vì điều kiện ban đầu là \( x \neq 1 \), chỉ còn lại:

\[
x = -1
\]

### b. Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( M = A \cdot B \) là số nguyên

Ở đây, ta có:

\[
B = 2\frac{x - 1}{x^2 + x + 1}
\]

Vì vậy, \( M = A \cdot B \):

\[
M = \left( \frac{x^2 + x + 1}{x + 2} \right) \cdot \left( 2 \frac{x - 1}{x^2 + x + 1} \right)
\]

Ta thay \( A \) vào:

\[
M = \frac{2(x - 1)}{x + 2}
\]

Để \( M \) là số nguyên, mẫu số \( x + 2 \) phải chia hết cho \( x - 1 \). Ta có:

\[
M = 2 \cdot \frac{x - 1}{x + 2}
\]

Chia cả tử cho mẫu:

\[
M = 2 \cdot \left(1 - \frac{3}{x + 2}\right)
\]

Để đảm bảo \( M \) là số nguyên, \( \frac{3}{x + 2} \) cũng cần là số nguyên, nghĩa là \( x + 2 \) phải chia hết cho 3. Tức là:

\[
x + 2 = 3k \text{ với } k \text{ nguyên.}
\]

Vì vậy,

\[
x = 3k - 2
\]

Ta sẽ xem xét các trường hợp của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \): \( x = -2 \)
- Nếu \( k = 1 \): \( x = 1 \)
- Nếu \( k = -1 \): \( x = -5 \)
- Nếu \( k = -2 \): \( x = -8 \)
- Tiếp tục các giá trị khác...

Nhưng vì điều kiện ban đầu \( x \neq 1 \), ta sẽ không chấp nhận \( k = 1 \).

Các giá trị nguyên \( x \) mà ta tìm được cho \( M \) là số nguyên là:

\[
x = -5, -2, -8, \ldots
\]

Tam gia trị nêu trên, tổng thể là \( x = -2, -5, -8, -11, \ldots \) (khi \( k \) là các số nguyên khác).

Bất kỳ giá trị nào \( x = 3k - 2 \) với \( k \) nguyên đều là giá trị cần tìm, tức không có giới hạn.

Tóm lại, các giá trị nguyên của \( x \) để \( M \) là số nguyên là:

\[
x = 3k - 2 \quad (k \text{ là số nguyên})
\]