Để giải bất phương trình

\[
\frac{4}{8} \cdot \frac{x+4}{2} \geq x-5,
\]

ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức

Nhận thấy rằng \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \):

\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{x+4}{2} = \frac{x+4}{4}.
\]

Vậy bất phương trình trở thành:

\[
\frac{x+4}{4} \geq x - 5.
\]

### Bước 2: Nhân cả hai vế với 4

Để loại bỏ mẫu số, ta nhân cả hai vế với 4 (do 4 > 0, dấu bất phương trình không thay đổi):

\[
x + 4 \geq 4(x - 5).
\]

### Bước 3: Giải phương trình

Giải biểu thức bên phải:

\[
x + 4 \geq 4x - 20.
\]

Chuyển biến \(x\) về một bên:

\[
4 + 20 \geq 4x - x \Rightarrow 24 \geq 3x.
\]

### Bước 4: Chia cho 3

Chia cả hai vế cho 3:

\[
8 \geq x \quad \text{hay viết lại:} \quad x \leq 8.
\]

### Bước 5: Kết luận

Giá trị của \(x\) thỏa mãn bất phương trình là:

\[
x \leq 8.
\]

Vậy, nghiệm của bài toán là \(x \in (-\infty, 8]\).