Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### Phần 1:

#### a) Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} BC \)

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) => \( AM = MB \).
2. **Tính toán**: Vì \( MN \parallel BC \) và \( M \) là trung điểm nên theo định lý trung bình trong tam giác, ta có \( MN = \frac{1}{2} BC \).

#### b) Tia phân giác của \( \angle A \) cắt \( BC \) tại \( I \)

- Gọi \( K \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- Theo tính chất của tia phân giác, ta có tỉ số \( \frac{AB}{AC} = \frac{BI}{IC} \).

#### c) Chứng minh \( IB \cdot NC = IC \cdot MB \)

- Dùng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng:
\[
IB \cdot NC = IC \cdot MB
\]
dựa vào tỉ số trên.

### Phần 2:

#### Câu tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC

- Theo đề bài, chúng ta có \( BC = 4CM \).
- Từ điều này, có thể xác định tọa độ của các điểm.

#### Trên cạnh \( AC \), lấy điểm \( N \) sao cho \( \frac{CN}{4AN} = \frac{1}{3} \)

1. Phân tích điều kiện sẽ giúp tìm ra các tỉ số cần chứng minh.

### Phần 3:

#### Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2028 \)

1. **Khởi đầu**: Nhóm các hạng tử:
\[
A = 2(x^2 + xy + x) + y^2 - 2y + 2028
\]
2. **Giải phương trình bậc hai** để tìm giá trị nhỏ nhất.
3. **Tính đạo hàm** và giải phương trình để tìm cực trị.

Bằng cách áp dụng các kiến thức về hình học và đại số, bạn có thể hoàn thành bài tập này. Nếu cần thêm trợ giúp cụ thể hơn, hãy cho biết!