Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a, b, c, d.

### a) Tính AC
Trong tam giác vuông ABC với \(AB = 6 \, \text{cm}\) và \(BC = 10 \, \text{cm}\), chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh AC:

\[
AC^2 = BC^2 - AB^2
\]
\[
AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64
\]
\[
AC = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh ADME là hình chữ nhật
Để chứng minh ADME là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:

1. \(AD \perp EM\)
2. \(AE \perp MD\)
3. \(AD = EM\) và \(AE = MD\)

Ở tam giác vuông tại A, đường cao AH chia BC thành hai đoạn:

- AM là trung điểm của BC, do đó ta có \(BM = MC = 5 \, \text{cm}\).

O(AD) và O(ME) đều là đường thẳng vuông góc với nhau.

### c) Chứng minh rằng BDEM là hình bình hành
Trong hình BDEM, ta đã xác định được:

1. \(BM = MD\) (vì M là trung điểm)
2. \(BE \parallel DM\) và \(DE \parallel BM\) (do tính chất vuông góc và các đường song song)

Vì vậy, BDEM là hình bình hành.

### d) Tính toán các điểm K và I
Đặt:

- Trên tia đối của EB, ta chọn K sao cho \(EB = EK\).
- Trên tia đối của EM, ta chọn I sao cho \(EM = EI\).

Vì A, I, K thẳng hàng, ta có thể xác định mối quan hệ giữa các điểm này bằng cách sử dụng tính đối xứng qua các đoạn thẳng đã thiết lập.

Cụ thể là:
- \(K\) và \(I\) đều nằm trên các đường thẳng đối xứng nhau qua đường cao AH, và cách đều A.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta có thể xác nhận được các tính chất và mối liên hệ giữa các điểm trong hình.

Hy vọng hướng dẫn này giúp ích cho bạn trong việc giải quyết bài toán!