Để tìm số học sinh khối 6 của trường (gọi là \( N \)), ta có các điều kiện sau:

1. \( N \) nằm trong khoảng từ 300 đến 400.
2. \( N \equiv 5 \mod 8 \)
3. \( N \equiv 5 \mod 12 \)
4. \( N \equiv 5 \mod 14 \)

Từ các điều kiện trên, ta có thể viết lại các đồng dư:
- \( N - 5 \equiv 0 \mod 8 \)
- \( N - 5 \equiv 0 \mod 12 \)
- \( N - 5 \equiv 0 \mod 14 \)

Gọi \( M = N - 5 \). Khi đó, \( M \) phải là bội số chung của 8, 12, và 14. Đầu tiên, chúng ta tính ước số chung lớn nhất (bằng cách phân tích từng số ra thừa số nguyên tố):
- \( 8 = 2^3 \)
- \( 12 = 2^2 \times 3 \)
- \( 14 = 2^1 \times 7 \)

Tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 8, 12 và 14:
- BCNN = \( 2^3 \times 3^1 \times 7^1 = 8 \times 3 \times 7 = 168 \)

Vậy \( M \) có thể viết dưới dạng:
\[ M = 168k \quad (k \text{ là một số nguyên}) \]

Từ đó, ta có:
\[ N = M + 5 = 168k + 5 \]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \( k \) sao cho \( N \) nằm trong khoảng từ 300 đến 400:
\[ 300 \leq 168k + 5 \leq 400 \]

Giải bất đẳng thức:
1. Từ \( 300 \leq 168k + 5 \) ta có:
\[ 295 \leq 168k \]
\[ k \geq \frac{295}{168} \approx 1.76 \]
Vậy \( k \geq 2 \)

2. Từ \( 168k + 5 \leq 400 \) ta có:
\[ 168k \leq 395 \]
\[ k \leq \frac{395}{168} \approx 2.36 \]
Vậy \( k \leq 2 \)

Do đó, \( k = 2 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn. Tính giá trị của \( N \):
\[ N = 168 \cdot 2 + 5 = 336 + 5 = 341 \]

Cuối cùng, số học sinh khối 6 của trường là:
\[ \boxed{341} \]