Tính tổng dãy 1*2*3+3*4*5+...+(n-1)*n*(n+1)

Để tính tổng dãy \( S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \), ta có thể biểu diễn tổng này theo một công thức.

Mỗi thành phần trong dãy có dạng:

\[
k \cdot (k+1) \cdot (k+2) = k(k+1)(k+2)
\]

Trong đó \( k = 1, 3, 5, \ldots, (n-1) \). Số lượng các hạng tử này là \( \frac{n}{2} \) nếu \( n \) là số chẵn, hoặc \( \frac{n-1}{2} \) nếu \( n \) là số lẻ. Tuy nhiên, để tính tổng, ta có thể sử dụng công thức tổng quát cho mỗi nhóm ba số liền nhau.

Ta có thể tính toán lại các hạng tử của dãy. Các hạng tử là:

\[
S = \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^3 + 3k^2 + 2k)
\]

Tách ra thành ba phần:

\[
S = \sum_{k=1}^{n-1} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k
\]

Công thức tính tổng các số nguyên từ 1 đến \( m \):

\[
\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}
\]

Tổng các số nguyên bình phương:

\[
\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}
\]

Tổng các số nguyên lập phương:

\[
\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)^2
\]

Áp dụng các công thức này cho \( m = n-1 \):

\[
\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}
\]

\[
\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}
\]

\[
\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2
\]

Giá trị \( S \) trở thành:

\[
S = \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2}
\]

Bây giờ, bạn chỉ cần tính các giá trị này và gộp chúng lại để có tổng \( S \) của dãy.

Tóm lại, bước cuối cùng là thực hiện phép tính và rút gọn để có được kết quả cuối cùng cho tổng dãy.