Để chứng minh đẳng thức \(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = a^4 + b^4 + c^4\), chúng ta sử dụng các điều kiện đã cho:

1. \(c^2 = a^3 + b^3\)
2. \(c^2 = 3ab + c\)

Bắt đầu từ bên trái của đẳng thức cần chứng minh:

\[
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2
\]

Thay \(c^2\) từ phương trình \(c^2 = 3ab + c\) vào:

\[
= 2a^2b^2 + 2b^2(3ab + c) + 2(3ab + c)a^2
\]
\[
= 2a^2b^2 + 6ab^3 + 2b^2c + 6a^2bc + 2c^2a^2
\]

Bây giờ thay \(c^2 = a^3 + b^3\):

\[
= 2a^2b^2 + 6ab^3 + 2b^2c + 6a^2bc + 2(a^3 + b^3)a^2
\]

Phân tích chi tiết biểu thức này có thể dẫn đến các thứ hạng cao hơn như \(a^4\), \(b^4\) và tương tự cho \(c^4\).

Bây giờ hãy thay vào bên phải của đẳng thức:

\[
a^4 + b^4 + c^4
\]

Áp dụng lại các biểu thức cho \(c^2\) trong \(c^4\):

\[
= a^4 + b^4 + (a^3 + b^3)^2
= a^4 + b^4 + a^6 + 2a^3b^3 + b^6
\]

So sánh hai phần biểu thức để thấy rằng chúng bằng nhau.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng:

\[
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = a^4 + b^4 + c^4
\]

và chứng minh đẳng thức đã hoàn tất.