Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### a. Tìm GTNN của biểu thức \( M = -2 + \sqrt{3 - x} \) với \( x < 3 \)

Trong trường hợp này, biểu thức \( \sqrt{3 - x} \) định nghĩa cho các giá trị của \( x \) mà \( 3 - x \geq 0 \) hay \( x \leq 3 \). Vì \( x < 3 \), ta thấy rằng \( \sqrt{3 - x} \) có giá trị lớn nhất khi \( x \) tiến gần đến 3.

- Khi \( x = 3 \), \( M = -2 + \sqrt{3 - 3} = -2 + 0 = -2 \).
- Với \( x < 3 \), \( 3 - x > 0 \) nên \( \sqrt{3 - x} > 0 \) và do đó \( M > -2 \).

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( M_{\min} = -2 \).

### b. Tìm GTLN của biểu thức \( N = \frac{1}{2} - 3\sqrt{1 + x} \) với \( x > 1 \)

Ta sẽ phân tích biểu thức \( N = \frac{1}{2} - 3\sqrt{1 + x} \):

- Với \( x > 1 \), \( 1 + x > 2 \) dẫn đến \( \sqrt{1 + x} > \sqrt{2} \).
- Khi \( x \to 1 \), \( N = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \), và với \( x \to \infty \), biểu thức \( -3\sqrt{1 + x} \) sẽ kéo \( N \) xuống rất thấp.

Tuy nhiên, để tìm GTLN, ta cần xác định hành vi của biểu thức tại \( x \to 1 \):

- Khi \( x = 1 \), \( N = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \).

Tính giá trị cụ thể:
\[
N \approx \frac{1}{2} - 3 \cdot 1.414 \approx \frac{1}{2} - 4.242 \approx -3.742
\]
Khi \( x \) tăng lên, \( N \) sẽ giảm dần. Do đó, GTLN của \( N \) là tại \( x = 1 \):

Kết luận, giá trị lớn nhất của \( N \) là \( N_{\max} = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \).

Tóm lại:

- GTNN của biểu thức \( M = -2 + \sqrt{3 - x} \) là \( -2 \).
- GTLN của biểu thức \( N = \frac{1}{2} - 3\sqrt{1 + x} \) là \( \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \).