Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm giá trị lớn nhất của \( A \)

\( A \) được định nghĩa như sau:

\[
A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta sẽ tính đạo hàm và tìm điểm cực trị.

1. **Tính đạo hàm của \( A \):**

Sử dụng quy tắc chia, ta có:

\[
A = \frac{u}{v} \quad với \quad u = \sqrt{x} + 2, \quad v = \sqrt{x} + 1
\]

Đạo hàm của \( A \) theo quy tắc chia là:

\[
A' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Trong đó:

- \( u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
- \( v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Thay vào công thức, ta tính đạo hàm và tìm nghiệm của phương trình \( A' = 0 \).

2. **Giá trị cực đại và giá trị của \( A \):**

Sau khi tìm được điểm cực tiểu hay cực đại, ta thay giá trị \( x \) vào công thức tính \( A \) để tìm giá trị lớn nhất.

### b) Đặt \( B = (x - 3\sqrt{x} - 4) \cdot A \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \)

Từ công thức vừa tìm được cho \( A \), ta thay vào biểu thức của \( B \):

\[
B = (x - 3\sqrt{x} - 4) \cdot A
\]

**Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \)**:

- Xác định miền xác định của \( B \) (tức là khi nào \( x - 3\sqrt{x} - 4 \geq 0 \)).
- Tính đạo hàm của \( B \) và tìm điểm cực trị.

### c) Đặt \( C = \sqrt{x} + 1 + A \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \)

Cuối cùng, ta có công thức mới cho \( C \):

\[
C = \sqrt{x} + 1 + A
\]

**Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \)**:

- Ta có thể thay \( A \) vào và nghiên cứu biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất tương tự như bước \( B \).

Từng bước một, bạn sẽ tìm được giá trị lớn nhất của \( A \), giá trị nhỏ nhất của \( B \), và giá trị nhỏ nhất của \( C \).