Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh bốn điểm A, M, N, H cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm A, M, N, H cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc trong tam giác.

**Bước 1:** Xét tam giác nhọn ABC với AB < AC và AH là đường cao từ A xuống cạnh BC.

**Bước 2:** Gọi M là hình chiếu của H lên AB và N là hình chiếu của H lên AC. Theo định nghĩa, điểm M và N nằm trên các cạnh AB và AC.

**Bước 3:** Ta cần chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn. Để làm điều này, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc AMH + góc ANH = 180 độ.

- Xét góc AMH: Như H là hình chiếu của A trên đường thẳng AB, nên góc AMH vuông tại M, tức là góc AMH = 90 độ.
- Xét góc ANH: Tương tự, H cũng được xem là hình chiếu của A trên AC, nên góc ANH vuông tại N, tức là góc ANH = 90 độ.

**Bước 4:** Ta cần xét góc AHM:
- Góc AHM = 90 độ vì AM là đường cao từ A xuống AB.

Vậy ta có:
\[
\angle AMH + \angle ANH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

**Kết luận:** Đoạn chứng minh trên chỉ ra rằng tổng của hai góc AMH và ANH bằng 180 độ. Theo định nghĩa của góc nội tiếp, điều này cho thấy rằng bốn điểm A, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn.

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng bốn điểm A, M, N, H cùng nằm trên một đường tròn như yêu cầu.