Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính BD, DC và EB.

### Bước 1: Tính BD và DC

Tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm và AC = 4 cm. Theo định lý Pythagore, chúng ta có:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Bây giờ, sử dụng tính chất của tia phân giác, theo định lý tia phân giác trong tam giác:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]

Gọi \( BD = 3x \) và \( DC = 4x \). Từ đó, ta có:

\[
BD + DC = BC \quad \Rightarrow \quad 3x + 4x = 5 \quad \Rightarrow \quad 7x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{7}
\]

Do đó:

\[
BD = 3x = 3 \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \text{ cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính EB

Bây giờ chúng ta sẽ vẽ tia Ay vuông góc với AD và A là giao điểm của Ay và BC. Để tính toán EB, cần tìm tọa độ các điểm trong tam giác ABC.

- Tọa độ điểm A là \( (0, 0) \)
- Tọa độ điểm B là \( (3, 0) \)
- Tọa độ điểm C là \( (0, 4) \)

Tọa độ điểm D theo công thức chia đoạn là:

\[
D = \left( \frac{4 \cdot 3 + 3 \cdot 0}{7}, \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{7} \right) = \left( \frac{12}{7}, \frac{12}{7} \right)
\]

Giả sử phương trình đường AD được tìm bằng cách xác định hệ số góc, để tìm phương trình một đường thẳng đi qua A và D, ta có:

Đường thẳng AD có hệ số góc:

\[
\text{slope}_{AD} = \frac{\frac{12}{7} - 0}{\frac{12}{7} - 0} = 1
\]

Phương trình AD: \( y = x \)

Vì Ay vuông góc với AD, tức là Ay có hệ số góc là -1, nên phương trình đường Ay đi qua A sẽ là:

\[
y = -x
\]

Để tìm E là giao điểm giữa Ay và BC, trước tiên cần viết phương trình của BC.

Phương trình BC giữa 2 điểm B và C:

\[
\text{slope}_{BC} = \frac{0 - 4}{3 - 0} = -\frac{4}{3}
\]
Sử dụng điểm B để viết phương trình:

\[
y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 3) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{4}{3}x + 4
\]

Tìm giao điểm của hai đường thẳng \( y = -x \) và \( y = -\frac{4}{3}x + 4 \):

\[
-x = -\frac{4}{3}x + 4
\]
\[
-\frac{3}{3}x + \frac{4}{3}x = 4
\]
\[
\frac{1}{3}x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 12
\]

Thay vào phương trình Ay:

\[
y = -12
\]

Sau khi tìm được tọa độ E \( (12, -12) \), chúng ta tìm được độ dài EB:

\[
EB = \sqrt{(3 - 12)^2 + (0 - (-12))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### Kết quả:
- **a**: BD = \(\frac{15}{7}\) cm, DC = \(\frac{20}{7}\) cm.
- **b**: EB = 15 cm.