Để chứng minh tứ giác \( HEFG \) là hình chữ nhật, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các điểm trung điểm và tính chất của các đường chéo vuông góc.

**Chứng minh**:

1. **Gọi toạ độ các điểm**:
- \( A(x_1, y_1) \)
- \( B(x_2, y_2) \)
- \( C(x_3, y_3) \)
- \( D(x_4, y_4) \)

2. **Tính toạ độ các trung điểm**:
- Toạ độ điểm \( E \) (trung điểm \( AB \)):
\[
E\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
- Toạ độ điểm \( F \) (trung điểm \( BC \)):
\[
F\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]
- Toạ độ điểm \( G \) (trung điểm \( CD \)):
\[
G\left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right)
\]
- Toạ độ điểm \( H \) (trung điểm \( DA \)):
\[
H\left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right)
\]

3. **Tính độ dài các cạnh và các góc**:
- Để chứng minh tứ giác \( HEFG \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh \( HE \) và \( FG \) vuông góc với nhau.
- Trước hết, tính vectơ \( HE \) và vectơ \( FG \):
\[
\overrightarrow{HE} = E - H = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} - \frac{y_4 + y_1}{2} \right) = \left( \frac{x_2 - x_4}{2}, \frac{y_2 - y_4}{2} \right)
\]
\[
\overrightarrow{FG} = G - F = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = \left( \frac{x_4 - x_2}{2}, \frac{y_4 - y_2}{2} \right)
\]

4. **Kiểm tra điều kiện vuông góc**:
- Hai vectơ \( \overrightarrow{HE} \) và \( \overrightarrow{FG} \) vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0:
\[
\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{FG} = \frac{x_2 - x_4}{2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{2} + \frac{y_2 - y_4}{2} \cdot \frac{y_4 - y_2}{2} = 0
\]
- Điều này tương đương với:
\[
(x_2 - x_4)(x_4 - x_2) + (y_2 - y_4)(y_4 - y_2) = 0
\]
- Điều này đúng vì \( AC \perp BD \) (hai đường chéo vuông góc).

5. **Kết luận**:
- Tứ giác \( HEFG \) có 2 cạnh đối diện song song và 1 cặp cạnh vuông góc, do đó \( HEFG \) là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác \( HEFG \) là hình chữ nhật.