Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết:

1. **Xác định tứ giác ADME**:
- Tứ giác ADME được hình thành từ các điểm A, D, M, E, trong đó D và E là hình chiếu của M trên AB và AC.
- Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Lý do là:
- M là điểm thuộc cạnh huyền BC, nên đoạn MD vuông góc với AB (từ định nghĩa của hình chiếu).
- Tương tự, đoạn ME vuông góc với AC.
- Do đó, mọi góc tại D và E đều bằng 90 độ (góc vuông), cùng với việc AD || ME và AM || DE.
- Vì vậy, tứ giác ADME có hai cặp cạnh đối song song và bốn góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng**:
- Gọi I là trung điểm của đoạn DE, tức là \( I = \frac{D + E}{2} \).
- Do AD || ME và AM || DE, tứ giác ADME là hình chữ nhật, từ đó ta biết rằng:
- Đường chéo AM sẽ đi qua trung điểm của DE.
- Do đó, điểm I nằm trên đường thẳng AM. Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.

3. **Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất**:
- Độ dài DE sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi M nằm trên đường trung bình của tam giác ABC.
- Khi M là vị trí trung điểm của BC, theo đường cao có độ dài bằng nhau từ A đến BC (đường cao là AB hoặc AC).
- Tính độ dài DE khi M là trung điểm BC:
- Trong tam giác vuông cân ABC, với AB = 2cm, ta có độ dài BC bằng \( BC = AB \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) cm.
- M là trung điểm BC, tức là tọa độ M là \( \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2\sqrt{2}} \right) \).
- Độ dài DE tối thiểu sẽ bằng chiều cao của tam giác vuông (AB).
- Nếu AB = 2cm, khi M nằm ở giữa, độ dài DE = 2cm/√2 = \(\sqrt{2}\)(hay \( \approx 1.41 \) cm).

Tóm lại:
1. Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
2. Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
3. DE có độ dài nhỏ nhất khi M là trung điểm BC và chiều dài nhỏ nhất là \( \sqrt{2} \) cm.