Để giải bài này, ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu:

### a) Chứng minh: \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)

Bắt đầu từ điều kiện cho trước \( a + b + c = 0 \), ta có thể viết \( c = - (a + b) \).

Áp dụng công thức khai thác:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)
\]

Thay \( c = - (a + b) \):

Ta tính \( a^2 + b^2 + c^2 \) và \( ab + ac + bc \):

1. Tính \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[
c^2 = (-(a + b))^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2ab = 2(a^2 + ab + b^2)
\]

2. Tính \( ab + ac + bc \):

\[
ac = a \cdot (-(a + b)) = -a^2 - ab
\]
\[
bc = b \cdot (-(a + b)) = -b^2 - ab
\]
\[
ab + ac + bc = ab - a^2 - ab - b^2 - ab = -a^2 - b^2 - ab
\]

Thay vào công thức, ta có:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
\]
Vậy:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
\]

### b) Tính giá trị của biểu thức:

\[
B = \frac{(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3}{(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3}
\]

Dễ thấy rằng tử số và mẫu số đều giống nhau, do đó giá trị của biểu thức \( B \) sẽ bằng:

\[
B = 1
\]

### Kết luận

a) \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)

b) \( B = 1 \)