Để chứng minh bốn điểm \( A, M, N, H \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc tại các điểm này.

### Chứng minh a)
1. **Góc \( AMH \) và \( ANH \)**: Vì \( M \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \), nên \( AH \perp AB \) ⇒ \( \angle AMH = 90^\circ \).

Tương tự, \( N \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \) nên \( AH \perp AC \) ⇒ \( \angle ANH = 90^\circ \).

2. **Góc \( AMN \)**: Ta có \( \angle AMN = \angle ACB \) vì \( M \) và \( N \) là các điểm tương ứng trên \( AB \) và \( AC\).

3. **Suy diễn**: Do \( \angle AMH + \angle ANH + \angle AMN = 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB \), do đó theo định lý về góc nội tiếp, bốn điểm \( A, M, N, H \) cùng thuộc một đường tròn.

### Chứng minh b)
Ta cần chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \).

1. **Dựa vào tỉ lệ**: Theo định lý sin trong triangle \( AMN \):
\[
\frac{AM}{\sin \angle AMN} = \frac{AN}{\sin \angle ANM}
\]

2. **Gọi \( \angle AMN = \angle ACB \) và \( \angle ANM = \angle ABC \) (cùng góc) ta có**:
\[
\frac{AM}{\sin ACB} = \frac{AN}{\sin ABC}
\]

3. **Áp dụng định lý sin** cho tam giác \( ACB \):
\[
\frac{AB}{\sin ABC} = \frac{AC}{\sin ACB}
\]

4. **Kết hợp các tỉ lệ** dẫn đến:
\[
AM \cdot AC = AN \cdot AB
\]

### Chứng minh c)
1. **Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( MN \)**:

Từ \( OP \) cắt \( BC \), chúng ta thấy rằng \( O \) cũng là hình chiếu của \( H \) lên đoạn \( MN \).

2. **Do \( OV \) là đường cao từ \( O \) đến \( MN \)**:
- Ta có \( OP \parallel MH \) ⇒ \( OP \) song song với \( MH \),
- Do \( AH \) là đường cao, và theo định lý về gốc bên ngoài trong tam giác.

Vậy \( OP \parallel MH \) cần chứng minh cho bài toán.