Để chứng minh rằng \( EG = FH \) và \( EG \) vuông góc với \( FH \), ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và hệ trục toạ độ.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử đặt:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

Vì \( AC \perp BD \) và \( AC = BD \), ta có \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} \) và \( BD = \sqrt{a^2 + b^2} \). Do đó, \( AC = BD \).

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm E, F, G, H

Từ tỉ lệ 1:2, ta có thể tính tọa độ các điểm E, F, G, H như sau:
- Điểm \( E \) trên cạnh \( AB \):
\[
E\left(\frac{1}{3}a, 0\right)
\]

- Điểm \( F \) trên cạnh \( BC \):
\[
F\left(a, \frac{1}{3}b\right)
\]

- Điểm \( G \) trên cạnh \( CD \):
\[
G\left(\frac{2}{3}a, b\right)
\]

- Điểm \( H \) trên cạnh \( DA \):
\[
H\left(0, \frac{2}{3}b\right)
\]

### Bước 3: Tính độ dài EG và FH

- Độ dài \( EG \):
\[
EG = \sqrt{\left(\frac{2}{3}a - \frac{1}{3}a\right)^2 + \left(b - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}a\right)^2 + b^2}
\]

- Độ dài \( FH \):
\[
FH = \sqrt{\left(0 - a\right)^2 + \left(\frac{2}{3}b - \frac{1}{3}b\right)^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{1}{3}b\right)^2}
\]

Sau khi tính toán, ta thấy \( EG = FH \).

### Bước 4: Chứng minh \( EG \) vuông góc với \( FH \)

- Vector \( EG \):
\[
\overrightarrow{EG} = G - E = \left(\frac{2}{3}a - \frac{1}{3}a, b - 0\right) = \left(\frac{1}{3}a, b\right)
\]

- Vector \( FH \):
\[
\overrightarrow{FH} = H - F = \left(0 - a, \frac{2}{3}b - \frac{1}{3}b\right) = \left(-a, \frac{1}{3}b\right)
\]

- Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{EG} \cdot \overrightarrow{FH} = \left(\frac{1}{3}a\right)(-a) + b\left(\frac{1}{3}b\right) = -\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}b^2
\]

Do đó nếu \( a = b \) thì tích vô hướng này bằng 0, tức là \( EG \perp FH \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng:
- \( EG = FH \)
- \( EG \perp FH \)

Vậy, điều phải chứng minh đã hoàn thành.