Chứng minh: AFED là hình thoi

Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi:

### a) Chứng minh ABMC là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác ABMC là hình bình hành, ta cần chứng minh AB song song với MC và AD song song với BM.

1. Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC.
2. Ta có ΔABC vuông tại B, từ đó suy ra AC ∥ BD (theo tính chất đường chéo vuông góc trong tam giác vuông).
3. Do đó, AB || MC (vì AB là đường chéo và BC là cạnh đối diện, có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau).
4. Tương tự, vì M là trung điểm của AD (từ yêu cầu của đề bài), ta có AM = MD, từ đó AE || MB.

Vậy, ABMC là hình bình hành.

### b) Chứng minh AFED là hình thoi.

Để chứng minh AFED là hình thoi, phải chứng minh rằng AF = DE và AD = EF.

1. Do M là trung điểm của AD, thì MD = AM và DF = DB.
2. Vì BE = BA và BF = BD, ta có AF = MD và DE = BF (theo định nghĩa của hình bình hành).
3. Do đó, AF = DE và AD = EF.

Cuối cùng, để kết luận AFED là hình thoi, ta thấy AF = DE và AD = EF, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### c) Gọi O là giao điểm của MB và ED; K là trung điểm của BD; AO cắt EM tại I. Chứng minh: ∠1 BD EM = ∠2 và A, K, I thẳng hàng.

1. Ta có MB và ED là hai đường thẳng cắt nhau tại O, từ đó suy ra các góc ∠AOD và ∠BOM chia đều góc giữa hai đường thẳng này.
2. Do A là điểm chung của MB và ED, nên có thể tính được góc giữa chúng bằng cách lấy góc giữa MA và ED.
3. Bằng định lý về góc giữa hai đường thẳng, ∠1 BD EM = ∠2, do hai góc này đều nằm ở các đoạn thẳng đối diện với nhau.

Cuối cùng, vì K là trung điểm của BD và AO cắt EM tại I, ta biết A, K, I nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm lại, A, K, I thẳng hàng và ∠1 BD EM = ∠2.

***Kết luận:*** Qua các bước chứng minh trên, ta đã giải quyết xong các yêu cầu trong bài toán.