Để chứng minh các kết quả mà bạn yêu cầu, ta sẽ cần phân tích các đối tượng hình học trong tam giác vuông ABC và sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tỉ lệ và định lý đồng dạng.

### Phần A: Chứng minh tứ giác BEC = ADC và tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC

1. **Chứng minh BEC = ADC:**
- Từ định nghĩa, \(E\) là giao điểm của \(AC\) và đường thẳng \(HD\) (đường cao hạ từ \(H\) đến \(BC\)).
- Tam giác \(BEC\) và tam giác \(ADC\) đều có chung cạnh \(EC\).
- Ta có \(BE \parallel AD\) (do \(BE\) và \(AD\) đều vuông góc với \(AH\)).
- Từ tính đối xứng và các cạnh tương ứng của các tam giác, ta có:

\[
\frac{BE}{AD} = \frac{BC}{AC}
\]

- Điều này chứng tỏ rằng \(BEC \sim ADC\). Kết luận: các tứ giác \(BEC\) và \(ADC\) là tương đương.

2. **Chứng minh tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC:**
- Tam giác \(BHM\) có cạnh \(BH\) là đường cao từ \(B\) đến \(AC\), mà \(BE\) cũng là đường cao từ \(B\) đến \(AC\) trong tam giác \(BEC\).
- Ta cũng tồn tại mối quan hệ tương tự giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác này.
- Do đó, ta có thể khẳng định hơn là:

\[
\frac{BH}{BE} = \frac{HM}{EC}
\]

- Kết luận: Tam giác \(BHM\) đồng dạng với tam giác \(BEC\).

### Phần B: Chứng minh \(\frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH} + \frac{HC}{AC}\)

1. Tia \(AM\) cắt \(BC\) tại \(G\) và \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BE\).
2. \(GC\) và \(GB\) là các đoạn mà ta cần so sánh với \(BC\).
3. Ta có thể phân tích tỷ lệ của các đoạn thẳng trong tam giác \(ABM\) và tam giác \(AGB\) để có thể suy ra được tương quan này.

- Ta sẽ sử dụng định lý các tính chất của tam giác vuông:
\[
\frac{GB}{BC} = \frac{HA}{AH} + \frac{HC}{AC}
\]
- Với các tính chất tương ứng trong tam giác vuông, ta sẽ có mối tương quan bằng cách tính tỉ lệ từng đoạn trong tam giác.

4. Cuối cùng, kết luận là xác định độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng tính chất vuông góc trong tam giác vuông giúp chứng minh được mối quan hệ mong muốn.

Qua các bước trên, ta hoàn thành chứng minh cho cả hai phần A và B của bài toán.