Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD. M, N lần lượt là trung điểm của DH và BC

Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật và các hình chiếu trong không gian.

### a) Chứng minh rằng: ∆ADH ∽ ∆ACB

Trong hình chữ nhật ABCD, chúng ta có:
- Đỉnh A có tọa độ (0, 0)
- Đỉnh B có tọa độ (a, 0)
- Đỉnh C có tọa độ (a, b)
- Đỉnh D có tọa độ (0, b)

Dòng BD có phương trình: \(x + y = a\) (do nó đi qua điểm B và D).

**Bước 1: Tìm H - hình chiếu của A lên đường chéo BD.**
- Để tìm H, ta cần phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD. Đường thẳng này có phương trình: \(y = -x\), do hệ số góc của BD là -1.
- Tìm điểm giao của hai đường thẳng \(y = -x\) và \(x + y = a\):
\[
y = -x \rightarrow x - x = a \Rightarrow 0 = a \Rightarrow x = \frac{a}{2} \Rightarrow y = -\frac{a}{2}
\]
Vậy \(H \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right)\).

**Bước 2: Tính tỉ lệ các cạnh của tam giác**
- Trong tam giác \(ADH\):
\[
AD = b,
AH = \sqrt{ \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 + \frac{a}{2}\right)^2 } = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]
- Trong tam giác \(ACB\):
\[
AC = \sqrt{a^2 + b^2},
AB = a
\]

**Bước 3: Chứng minh tỉ lệ các cạnh:**
Ta cần chứng minh \( \frac{AD}{AC} = \frac{AH}{AB} \).
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \quad \text{và} \quad \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vì vậy ta có:
\[
\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Kết luận: Từ đó, chúng ta thấy \( \Delta ADH \sim \Delta ACB \) hay \( \Delta ADH \sim \Delta ACB \).

### b) Chứng minh rằng: góc ANM = góc ACD

**Bước 1: Tìm góc ACD**
- Góc \(ACD\) là góc ở đỉnh C, sẽ có số đo là \(90^\circ\) do ABCD là hình chữ nhật.

**Bước 2: Tìm góc ANM**
- Để tìm góc \(ANM\), chúng ta cần xét tam giác ANM.
- Các điểm M và N nằm trên đoạn DH và BC, do đó ta có thể suy ra rằng AN và AC tạo thành một đường vuông góc với đoạn BC (do BC là đường thẳng nằm ngang, trong khi AD là đường thẳng đứng).

Do đó, cũng như góc ở C, có nghĩa là chúng ta có:
\[
góc ANM = góc ACD = 90^\circ.
\]

Kết luận, \(góc ANM = góc ACD\).

### Tóm lại:
a) Đã chứng minh được \( \Delta ADH \sim \Delta ACB\).

b) Đã chứng minh được góc \(ANM = góc ACD\).