Cho tam giác ABC (AB < AC) có trung tuyến AM, đường phân giác AD

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( AD < AM \)

1. **Xét tam giác ABC**:

- Đặt \( AB = c \) và \( AC = b \) với \( c < b \).
- Khi đó, theo định lý trung tuyến, trung tuyến \( AM \) từ đỉnh \( A \) tới trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \) sẽ có độ dài nhỏ hơn cạnh \( AC \) mà nó xuất phát (tức là \( AM < AC \)).

2. **Dùng bất đẳng thức Tam giác**:

- Ta có:
\[
AD + DM > AM \quad và \quad AD < AM
\]
- Suy ra:
\[
AD < AM
\]

### b) Chứng minh \( AE = AF \) và \( BE = CF \)

1. **Xét tứ giác \( AEFM \)**:

- Trong tứ giác này, vì \( AD \) là đường phân giác, điểm \( E \) và \( F \) nằm trên hai đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \) (các tia phân giác cắt nhau tại \( D \)).

2. **Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng**:

- Đường phân giác sẽ chia các cạnh đối diện theo tỉ lệ các cạnh kề:
\[
\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}
\]

- Từ đó suy ra: \( AE = AF \) (vì \( AB < AC \)).

3. **Tương tự cho các đoạn còn lại**:

- Từ điểm \( M \) (trung điểm), ta cũng có:
\[
BE = CF
\]

- Điều này vì \( M \) là trung điểm của \( BC \).

### Kết luận

Ta vừa chứng minh được hai kết luận:
- \( AD < AM \)
- \( AE = AF \) và \( BE = CF \)

Do đó, bài toán đã được giải quyết.