Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \[ (x^2 + x + 1)^2 (x^2 + x + 2) - 12 \]

Để phân tích đa thức \((x^2 + x + 1)^2 (x^2 + x + 2) - 12\) thành nhân tử, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt \(y = x^2 + x + 1\)**. Khi đó, ta có:
\[
(y^2)(y + 1) - 12
\]
với \(y + 1 = x^2 + x + 2\).

2. **Khai triển biểu thức**:
\[
y^2(y + 1) - 12 = y^3 + y^2 - 12
\]

3. **Tìm nghiệm của phương trình**:
Ta có phương trình \(y^3 + y^2 - 12 = 0\).
Thực hiện thử nghiệm các giá trị:
- Khi \(y = 2\):
\[
2^3 + 2^2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0
\]
Vậy \(y - 2\) là một nhân tử.

4. **Chia đa thức**:
Sử dụng phép chia đa thức để phân tích \(y^3 + y^2 - 12\) theo \(y - 2\):
\[
y^3 + y^2 - 12 = (y - 2)(y^2 + 3y + 6)
\]

5. **Kiểm tra tính khả thi**:
Giải phương trình bậc 2:
\[
y^2 + 3y + 6 = 0
\]
Tính discriminant:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0
\]
Phương trình này không có nghiệm thực.

6. **Kết hợp lại**:
Vậy, ta có:
\[
y^3 + y^2 - 12 = (y - 2)(y^2 + 3y + 6)
\]
và
\[
y = x^2 + x + 1 \Rightarrow (x^2 + x + 1 - 2)(x^2 + x + 1^2 + 3(x^2 + x + 1) + 6)
\]
Tức là:
\[
(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 1 + 3(x^2 + x + 1) + 6)
\]

7. **Viết lại dạng phân tích**:
Cuối cùng, đa thức của bài toán trở thành:
\[
(x^2 + x - 1)(x^2 + 4x + 10)
\]

Như vậy, ta có thể viết lại như sau:
\[
(x^2 + x - 1)(x^2 + 4x + 10)
\]