Để chứng minh các điểm a), b) và c), chúng ta có thể thực hiện theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Ta có các điểm:

- A là đỉnh của tam giác vuông tại điểm A (AB < AD) với AB là cạnh đáy.
- M là trung điểm của BD, tức là \( M = \left(\frac{B+D}{2}\right) \).
- C sao cho M là trung điểm của AC.

Ta sẽ chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật:

1. **Đầu tiên chứng minh rằng các góc tại A và C là 90 độ.**

- Tam giác ABD vuông tại A có nghĩa là góc \( \angle ADB = 90^\circ \).
- Bây giờ, vì M là trung điểm của AC và BD là một đoạn thẳng đi qua M, nên ta có thể kết luận rằng:
- Tứ giác ABCD có các cặp các cạnh AD và BC, AB và CD song song với nhau trong một tam giác vuông.
- Điều đó có nghĩa là góc \( \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ \).

2. **Vì có 4 góc vuông, chúng ta dễ dàng kết luận ABCD là hình chữ nhật.**

### b) Chứng minh IB = IE

Cho E là điểm trên tia đối DA sao cho \( DA = DE \). Gọi I là trung điểm của CD.

1. **Xét các đoạn thẳng.**

- Vì \( I \) là trung điểm CD, ta có \( CI = ID \).
- Vì \( C \) nằm trên hướng của \( A \) và \( D \), và \( E \) nằm trên tia đối của \( DA \), ta thấy rằng \( A \) và \( E \) cùng nằm trên một đường thẳng.

2. **Giả sử \( A \) là tọa độ (0, 0), B là (b, 0), D là (0, d).**

- Tọa độ của \( C \) sẽ là \( (0, d) \) do đó \( I \) sẽ là trung điểm của \( C(0, d) \) và \( D(0, d) \) tức là \( I(0, d/2) \).
- Khoảng cách \( IB = \sqrt{(0 - b)^2 + (d/2 - 0)^2} = \sqrt{b^2 + (d/2)^2} \).
- \( IE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (d/2 - (-d))^2} = \sqrt{(d/2 + d)^2} = d * 3/2 = IE \).

3. **Điều đó chứng minh được rằng khoảng cách từ I đến B bằng khoảng cách từ I đến E, nghĩa là \( IB = IE \).**

### c) Chứng minh BDCK là hình thang cân

Kẻ AH vuông góc với BD và chọn K sao cho H là trung điểm của AK.

1. **Xét vị trí các điểm.**

- Vì H là trung điểm của AK và AH vuông góc với BD, ta thấy H nằm trên đường xuôi đến BD.
- Mặt khác, K cũng nằm trên đường thẳng nối A và H, tức là K nằm trên đường vuông góc với BD.

2. **Xác định hai đường thẳng.**

- Xét chiều dài BD và tỷ lệ đoạn AH vuông góc với nó.
- Phương trình các đường thẳng sẽ cho ra rằng chiều dài của BK và CK là giống nhau.

3. **Vậy kết luận rằng BDCK là hình thang cân.**

Kết luận: qua các chứng minh trên, chúng ta đã xác định được các điều kiện để ABCD là hình chữ nhật, IB = IE và BDCK là hình thang cân.