Để tìm số dư của biểu thức \( (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2021 \) khi chia cho đa thức \( x^2 + 10x + 21 \), chúng ta sẽ mô phỏng bước chia này thông qua các giá trị đặc biệt.

Đầu tiên, chúng ta cần nhận thấy rằng đa thức \( x^2 + 10x + 21 \) có thể được phân tích như sau:

\[
x^2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)
\]

Do đó, nghiệm của phương trình này là \( x = -3 \) và \( x = -7 \). Chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức tại hai giá trị này.

Đặt

\[
P(x) = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2021
\]

**Bước 1: Tính \( P(-3) \)**

\[
P(-3) = (-3 + 2)(-3 + 4)(-3 + 6)(-3 + 8) + 2021
\]
\[
= (-1)(1)(3)(5) + 2021
\]
\[
= -15 + 2021 = 2006
\]

**Bước 2: Tính \( P(-7) \)**

\[
P(-7) = (-7 + 2)(-7 + 4)(-7 + 6)(-7 + 8) + 2021
\]
\[
= (-5)(-3)(-1)(1) + 2021
\]
\[
= 15 + 2021 = 2036
\]

**Bước 3: Xác định số dư**

Vì \( P(x) \) là một đa thức bậc 4 và \( x^2 + 10x + 21 \) là đa thức bậc 2, số dư của phép chia \( P(x) \) cho \( x^2 + 10x + 21 \) sẽ là một đa thức bậc 1, tức là có dạng \( ax + b \).

Chúng ta đã có hai phương trình từ \( P(-3) \) và \( P(-7) \):

1. \( -3a + b = 2006 \)
2. \( -7a + b = 2036 \)

**Bước 4: Giải hệ phương trình**

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai:

\[
(-7a + b) - (-3a + b) = 2036 - 2006
\]
\[
-4a = 30 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{30}{4} = -\frac{15}{2}
\]

Thay giá trị của \( a \) vào một trong hai phương trình để tìm \( b \). Dùng phương trình thứ nhất:

\[
-3\left(-\frac{15}{2}\right) + b = 2006
\]
\[
\frac{45}{2} + b = 2006
\]
\[
b = 2006 - \frac{45}{2} = 2006 - 22.5 = 1983.5
\]

Vậy số dư của biểu thức \( P(x) \) khi chia cho \( x^2 + 10x + 21 \) là:

\[
P(x) = -\frac{15}{2}x + \frac{3967}{2}
\]

Kết luận:

Số dư khi chia biểu thức đã cho cho \( x^2 + 10x + 21 \) là

\[
-\frac{15}{2}x + \frac{3967}{2}
\]

Hoặc, nếu chỉ lấy các hệ số nguyên:

\[
-\frac{15}{2}x + 1983.5
\]

Phải đưa về dạng số nguyên, cụ thể có thể là một biểu thức chuẩn để phù hợp với bài toán tùy thuộc vào yêu cầu độ chính xác hay số nguyên.

Tuy nhiên, đến đây chúng ta đã hoàn thành nhiệm vụ tìm số dư trong phép chia.