Để giải bài toán này, chúng ta sẽ trình bày bước chứng minh cho từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật

1. **Tính chất tam giác cân**: Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\) và đường cao \(AH\) cũng đồng thời là đường trung tuyến, tức là \(H\) là trung điểm của \(BC\).

2. **M là trung điểm AB**: Theo định nghĩa, \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Do đó, \(AM = MB\).

3. **Điểm D**: Theo đề bài, \(D\) thuộc tia đối diện với tia \(MH\) và \(MD = MH\). Điều này có nghĩa là \(D\) được xác định sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn \(HD\).

4. **Chứng minh AH và BD vuông góc**:
- Do \(AH\) là đường cao của tam giác cân \(ABC\), nghĩa là \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Tương tự, với \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(H\) là trung điểm của \(BC\), \(MH\) vuông góc với \(AB\) và \(D\) nằm trên tia đối với \(MH\). Do đó, \(AH\) vuông góc với \(BD\).

5. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(D\) là điểm đối diện trên đoạn thẳng \(MH\), ta có:
\[
AH = AH \quad \text{(cạnh chung)}
\]
\[
AB = AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot MB \quad \text{(M là trung điểm)}
\]

6. **Kết luận**: Bốn cạnh \(AH\), \(HB\), \(AD\), và \(BD\) đều vuông góc với nhau và các cạnh đối diện bằng nhau, do đó tứ giác \(AHBD\) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ACHD là hình bình hành

1. **Chứng minh rằng \(AC \parallel DH\)**:
- \(AH\) vuông góc với \(BC\) và \(MD = MH\), nên hai đoạn thẳng này vuông góc với đường thẳng nối \(AC\).

2. **Chứng minh \(AC = DH\)**:
- Theo tính chất hình thoi, chúng ta có:
\[
AC = AC \quad \text{(cạnh chung)}
\]
- Vì \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(D\) đối diện \(M\), nên \(DH = AH\).

3. **Chứng minh \(CH = AD\)**:
- Với giống như trên, do \(M\) là trung điểm và \(H\) là trung điểm của \(BC\), cho nên \(ACHD\) cũng có tính chất giống như các cạnh \(MA\) và \(MD\), đồng thời \(CH = AD\).

4. **Kết luận**: Hai cặp cạnh \(AC\) và \(DH\) cũng như \(CH\) và \(AD\) bằng nhau và song song, do đó tứ giác \(ACHD\) là hình bình hành.

Vậy chúng ta đã hoàn tất chứng minh cho cả hai phần của bài toán!