Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, từ H kẻ HN vuông góc AC, HM ⊥ AB (M ∈ AB)

Để chứng minh các phần trong bài toán đã cho về hình học, ta sẽ áp dụng các tính chất của tam giác vuông và định nghĩa hình chữ nhật.

### Phần 1: Chứng minh AMHN là hình chữ nhật

1. **Đặt các vị trí**:
- Gọi \( A \) là điểm vuông góc tại \( A \) trong tam giác \( ABC \), \( H \) là chân cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( HN \) vuông góc với \( AC \) và \( HM \) vuông góc với \( AB \).

2. **Chứng minh rằng \( AM \) song song với \( NH \) và \( AH \) song song với \( MN \)**:
- Vì \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \) nên \( HN \) vuông góc với \( AB \).
- Từ đó, suy ra rằng \( AM \) cũng vuông góc với \( AB \). Ngược lại, \( AH \) cũng vuông góc với \( AC \).

3. **Chứng minh các góc**:
- Xét tứ giác \( AMHN \):
- Có hai cặp cạnh đối diện \( AM \) và \( NH \), \( AH \) và \( MN \) đều vuông góc với nhau, suy ra tứ giác này là hình chữ nhật.

### Phần 2: Chứng minh AFMN là hình chữ nhật

1. **Xếp hình**:
- Trên tia đối của \( NH \), lấy điểm \( E \) sao cho \( NH = NE \).
- Trên tia đối của \( MH \), lấy điểm \( F \) sao cho \( MH = MF \).

2. **Chứng minh rằng \( AF \) song song với \( MN \) và \( AM \) song song với \( EF \)**:
- \( NH \perp AC \) nên \( NE \perp AC \) (vì \( NH = NE \)).
- Tương tự, với \( MF \) ta có \( MF \perp AB \).

3. **Chứng minh các góc**:
- Xét tứ giác \( AFMN \):
- Có \( AM \parallel EF \) và \( AF \parallel MN \), hơn nữa \( AF \perp AM \) và \( AN \perp MN \), từ đó suy ra tứ giác là hình chữ nhật.

### Kết luận

Qua tất cả các bước trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( AMHN \) là một hình chữ nhật và tứ giác \( AFMN \) cũng là một hình chữ nhật. Chúc bạn học tốt!