a)
xét tứ giác BMCN có :

D là trung điểm của MN

D là trung điểm của BC

⇒ tứ giác BMCN là hình bình hành ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
b)
BM//CN ( tứ giác BMCN là hình bình hành)
⇒BK//CN

mà BK ⊥ KC ( BK ⊥ AC )
⇒ tứ giác BKCN là hình thang vuông 
Vì hai cạnh đáy song song với nhau và có một góc vuông
c)

Nếu ΔABC là tam giác cân :
M là trực tâm ( hai đường cao CH và BK cắt nhau tại M)
mà ΔABC cân 
⇒ AM là đường trung tuyến của BC
mà MD là đường trung tuyến của BC
⇒ A,M,D thẳng hàng 
⇒ AD là đường cao của ΔABC 
mà tứ giác BMCN là hình bình hành ( chứng minh câu a)
⇒ tứ giác BMCN là hình thoi ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau)
⇒ để tứ giác BMCN là hình thoi thì ΔABC là tam giác cân