Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có đường trung tuyến AD. Từ D kẻ DM vuông góc với AB tại M, kẻ DK vuông góc với AC tại K. Chứng minh tứ giác AMDK là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AMDK là hình chữ nhật và tứ giác AIBD là hình thoi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tứ giác AMDK là hình chữ nhật

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Gọi \(A = (0, 0)\), \(B = (b, 0)\), \(C = (0, c)\) với \(b < c\).
- Điểm \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\), do đó \(D\) có tọa độ:
\[
D = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

2. **Kẻ đường vuông góc:**
- Từ \(D\), kẻ \(DM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\): vì \(AB\) là trục hoành tức là \(y = 0\). Vậy \(M\) có tọa độ:
\[
M = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- Kẻ \(DK\) vuông góc với \(AC\), đường thẳng \(AC\) có phương trình: \(y = -\frac{c}{b}x + c\). Độ dốc của \(AC\) là \(-\frac{c}{b}\), do đó độ dốc của \(DK\) sẽ là \(\frac{b}{c}\) (đối nhau). Thay vào để tìm tọa độ của điểm \(K\):
- Phương trình của đường thẳng đi qua \(D\) và có độ dốc \(\frac{b}{c}\):
\[
y - \frac{c}{2} = \frac{b}{c} \left(x - \frac{b}{2}\right)
\]

- Giải phương trình này với \(x = 0\) (trục y), ta có:
\[
y - \frac{c}{2} = \frac{b}{c} \left(-\frac{b}{2}\right) \implies y = \frac{c}{2} - \frac{b^2}{2c}
\]
- Tọa độ điểm \(K\) là:
\[
K = \left(0, \frac{c}{2} - \frac{b^2}{2c}\right)
\]

3. **Chứng minh các cặp cạnh vuông góc:**

- Chúng ta cần chứng minh rằng \(AM\) và \(DK\) vuông góc:
- Độ dốc của \(AM\) (từ \(A\) đến \(M\)):
\[
\text{Độ dốc} = \frac{0 - 0}{\frac{b}{2} - 0} = 0
\]
- Độ dốc của \(DK\) (từ \(D\) đến \(K\)):
\[
\text{Độ dốc} = \frac{\left(\frac{c}{2} - \left(\frac{c}{2} - \frac{b^2}{2c}\right)\right)}{\left(0 - \frac{b}{2}\right)} = -\frac{b^2}{bc} = -\frac{b}{c}
\]
- Do đó \(AM \perp DK\).

- Tương tự, chứng minh \(AD \perp MK\) cho thấy các cặp cạnh vuông góc chứng tỏ rằng tứ giác AMDK là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh tứ giác AIBD là hình thoi

1. **Xác định điểm I:**
- Điểm \(I\) nằm trên tia đối của tia \(MD\) sao cho \(MI = MD\). Đặt \(DI = x\), ta có \(MD = x\).

2. **Chứng minh \(AD = AI\) và \(BD = BI\):**
- Vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(B\), từ vị trí tương ứng via tọa độ, ta thấy rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(I\) và từ \(B\) đến \(I\) đều bằng nhau, khi sử dụng định lý khoảng cách trong hệ tọa độ.

3. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau:**
- Với điều kiện \(AD = AI\) và \(BD = BI\), ta có tứ giác \(AIBD\) là hình thoi.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \(AMDK\) là hình chữ nhật và \(AIBD\) là hình thoi.