Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC. Chứng minh : ADME là hình chữ nhật

Để chứng minh các yêu cầu trong đề bài, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### a/ Chứng minh: ADME là hình chữ nhật

**Chứng minh:**

1. Gọi tọa độ điểm \( A(0; 0) \), \( B(a; 0) \), \( C(0; b) \) trong hệ trục tọa độ.
2. Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( BC \)) là:
\[
M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)
\]
3. Hình chiếu của \( M \) lên \( AB \) (trục hoành) là điểm \( D\left(\frac{a}{2}; 0\right) \).
4. Hình chiếu của \( M \) lên \( AC \) (trục tung) là điểm \( E\left(0; \frac{b}{2}\right) \).

5. Ta kiểm tra các cạnh AD và ME:
- **AD:**
\[
AD = \text{đoạn thẳng từ } A(0; 0) \text{ đến } D\left(\frac{a}{2}; 0\right) = \frac{a}{2}
\]
- **ME:**
\[
ME = \text{đoạn thẳng từ } M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right) \text{ đến } E\left(0; \frac{b}{2}\right) = \frac{a}{2}
\]

6. Tiếp theo, ta kiểm tra các cạnh AD và EM:
- **EM:**
\[
EM = \text{đoạn thẳng từ } M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right) \text{ đến } E\left(0; \frac{b}{2}\right) = \frac{a}{2}
\]
- **AD vuông góc với BE (xem xét hệ tọa độ và độ dốc):**
\[
\text{AD thẳng đứng, EM nằm ngang} \implies AD \perp EM
\]

Do đó, ADME là hình chữ nhật.

### b/ Chứng minh: D là trung điểm của AB và BMED là hình bình hành

**Chứng minh:**

1. Đầu tiên, ta xác định tọa độ điểm \( D\left(\frac{a}{2}; 0\right) \). Để \( D\) là trung điểm của \( AB\), ta có:
\[
D = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}; 0\right).
\]

2. Do đó, \( D\) là trung điểm của \( AB\).

3. Tiếp theo, ta chớp lại điểm \( M\) và \( E\):
- Tọa độ điểm \( M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)\) và \( E(0; \frac{b}{2}) \).

4. Để chứng minh \( BMED\) là hình bình hành:
- Ta thấy rằng:
\[
BE = D \text{ và } BM = DE \text{ (do có các điểm là trung điểm)}
\]
- Do đó, \( BMED \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

Vậy, \( BMED \) là hình bình hành.

### c/ Chứng minh: P, A, N thẳng hàng

**Chứng minh:**

1. Tọa độ điểm \( N\) là điểm đối xứng của \( M\) qua \( D\):
\[
N = (2D_x - M_x; 2D_y - M_y) = \left(2 \cdot \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 2 \cdot 0 - \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right).
\]

2. Tọa độ điểm \( P\) là điểm đối xứng của \( M\) qua \( E\):
\[
P = (2E_x - M_x; 2E_y - M_y) = \left(2 \cdot 0 - \frac{a}{2}, 2 \cdot \frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]

3. Ta xem xét ba điểm \( A(0; 0), N\left(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right), P\left(-\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right) \) nằm trên cùng một đường thẳng hay không.

4. Tính độ dốc của đoạn thẳng \( AP \) và \( AN \):
- Độ dốc \( AP\) là:
\[
\text{Độ dốc } AP = \frac{\frac{b}{2} - 0}{-\frac{a}{2} - 0} = -\frac{b}{a}.
\]

- Độ dốc \( AN\) là:
\[
\text{Độ dốc } AN = \frac{-\frac{b}{2} - 0}{\frac{a}{2} - 0} = -\frac{b}{a}.
\]

Vì độ dốc bằng nhau, \( P, A, N \) thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh đầy đủ ba yêu cầu từ đề bài.