Để chứng minh các tính chất được yêu cầu, trước tiên chúng ta cần vẽ hình để dễ dàng theo dõi các điểm và đoạn thẳng theo thuật ngữ đã cho. Chúng ta có hình tròn với tâm O và đường kính AB. CD là dây cắt đường kính AB tại điểm I, và H, K lần lượt là chân vuông góc từ A và B đến CD. M là điểm trên dây CD sao cho OM vuông góc với CD. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với CD tại M cắt AK tại N.

### a) Chứng minh rằng AN = NK

1. **Xét tam giác OIH**:
- OM là đường thẳng vuông góc với CD tại M, suy ra OM vuông góc với IH.
- Từ định lý trực giao, trong tam giác OIH, có được \( OH = OI \sin \angle OAH \) và \( IH = OI \cos \angle OAH \).

2. **Chứng minh tam giác IHN giống nhau**:
- Ta có các đoạn \( AI = IB \) (do AB là đường kính), và \( AH = BK \) (do AH và BK đều là đường vuông góc từ A và B đến CD).

3. Do áp dụng định lý đồng dạng:
- Cùng một góc tại O và I, từ đó suy ra nó cho chúng ta tỷ lệ giữa các đoạn AD và DB.
- Suy ra \( AN = NK \).

### b) Chứng minh rằng MH = MK

1. **Xét tam giác OMH và OMK**:
- OM vuông góc với CD, suy ra \( \angle OMH = \angle OMK = 90^\circ \).
- Về cạnh: OM là cạnh chung.

2. **Độ dài hai đoạn thẳng**:
- Theo định lý Pythagore, có: \( MH^2 + OH^2 = OM^2 \) và \( MK^2 + OK^2 = OM^2 \).
- Do OH = OK (cùng cách kẻ từ O đến đường CD), ta có MH = MK.

### c) Chứng minh rằng CH = DK

1. **Xét các tam giác chú ý tại I**:
- \( CI = CK \) (vì điểm I nằm giữa đoạn CD và tại điểm H, I, K).
- Ta cũng có \( HI = KI \) (do AH và BK vuông góc dẫn đến sự đối xứng qua điểm I).

2. **Sử dụng tính chất tam giác**:
- Hai tam giác CHI và DKI là giống nhau (có chung cạnh CI = CK và các góc HIC và DKI bằng nhau).
- Suy ra \((CH) = (DK)\).

Kết luận, ta đã chứng minh được ba tính chất theo yêu cầu:
- a) AN = NK
- b) MH = MK
- c) CH = DK