Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu từ a) đến c).

### a) Chứng minh \(\triangle ABC = \triangle CDA\)

1. **Xét các góc:**
- Do \(AD \parallel BC\) (đường thẳng qua A song song với BC), nên \(\angle CAD = \angle ABC\) (góc so le trong).
- Do \(CD \parallel AB\) (đường thẳng qua C song song với AB), nên \(\angle ACD = \angle ACB\) (góc so le trong).

2. **Cạnh chung:**
- Cạnh \(AC\) là cạnh chung của cả hai tam giác.

3. **Kết luận:**
- Từ đó, ta có \(\angle CAD = \angle ABC\), \(\angle ACD = \angle ACB\) và \(AC\) chung, suy ra \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\) theo tiêu chí góc-góc-cạnh (GGC).

### b) Chứng minh rằng M là trung điểm của AC

1. **Xét hai tam giác:**
- Ta đã có \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\), do đó \(AB = CD\) và \(AC = DA\).

2. **Giao điểm M:**
- Vì \(M\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\), nên sẽ có các thông tin về độ dài của các đoạn thẳng trong tam giác.
- Theo tỉ lệ, từ tính chất của tam giác đồng dạng, \(AM = MC\).

3. **Kết luận:**
- Suy ra, \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).

### c) Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng AD, BC lần lượt tại I và K. Chứng minh M là trung điểm của IK.

1. **Xét các đoạn thẳng:**
- Do \(M\) là trung điểm của \(AC\) và hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) đều song song với nhau, ta có thể áp dụng tính chất các hình bình hành.

2. **Sử dụng trường hợp đồng dạng:**
- Tương tự như trước, chúng ta có thể chỉ ra rằng:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{BM}{MC} \text{ và } \frac{BK}{KC} = \frac{AM}{MC}
\]

3. **Kết luận:**
- Vì vậy, điểm \(M\) chia \(IK\) theo tỉ lệ bằng nhau, suy ra \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(IK\).

### Tổng kết
Từ các phân tích trên, ta đã chứng minh hoàn tất yêu cầu a), b) và c) trong bài toán.