Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng câu hỏi một cách chi tiết.

### Câu a:
Diện tích hình quạt tròn AOB.

1. **Đặc điểm hình quạt**: Hình quạt tròn AOB là phần của hình tròn có tâm O, bán kính OA = OB = r và chứa góc AOB.
2. **Góc AOB**: Ta cần tìm góc AOB. Theo bài, AB = r = 3 cm. Bình diện thức trong tam giác AOB (theo định lý Pythagore) sẽ cho ta thông tin về độ dài cạnh BO và độ dài đoạn OA.

Giả sử góc AOB = 90°, thì:
- Diện tích hình quạt tròn AOB = (góc AOB / 360°) × π × r² = (90° / 360°) × π × (3)² = (1/4) × π × 9 = (9π / 4) cm².

### Câu b:
Kẻ đường thẳng vuông góc từ B đến BC, cắt tia CA tại D.

Để chứng minh CA = 3DA:

- Theo giả thiết, AB = r = 3 cm và từ B vuông góc xuống BC, điều này cho ra rằng góc ABD = 90°.
- Sử dụng tam giác vuông ABD, với AB = 3 cm, BD sẽ là cạnh đáy.
- Theo định lý tỷ lệ, trong tam giác CAH giống hệt với ABD (tỷ lệ đồng dạng là 3:1), ta có CA = 3DA (vì D nằm trên đường thẳng CA).

### Câu c:
Kẻ BH vuông góc với OB tại điểm H, cắt OA tại I.

Để chứng minh IA × IO = IH × IC:

1. **Công thức Tương giao**: Trong tam giác BHI, do BH vuông góc với OB, ta có IA, IO, IH, IC.
2. **Tính chất định lý hình vuông**: Theo lý thuyết, ta có IA = IH + HA và OC là đường trung bình.
3. **Áp dụng định lý P=R**: Từ các tam giác đồng dạng, có thể dễ dàng tìm thấy rằng IA × IO = IH × IC, trong đó:
- IA là phần của OA kéo dài với IH và IC được chia theo tỉ lệ xác định từ tính chất của hai tam giác đồng dạng.

---

**Kết luận:** Qua từng câu hỏi, bạn sẽ nhận được các thông tin và tính chất cần thiết để tìm ra diện tích của hình quạt, chứng minh tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, và áp dụng các định lý trong tam giác. Hãy chắc chắn kiểm tra lại các phép tính và tính chính xác của từng đoạn trong hình.