Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = a

Xét tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \) với \( B(0, a) \) và \( C(a, 0) \). Khi đó, điểm \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \):
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]

Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là các điểm trên cạnh \( AB \) và \( AC \):
- Điểm \( D \) trên \( AB \) có tọa độ \( D(0, d) \) với \( 0 \leq d \leq a \)
- Điểm \( E \) trên \( AC \) có tọa độ \( E(e, 0) \) với \( 0 \leq e \leq a \)

Theo giả thiết \( BD = AE \), ta có:
\[
BD = a - d \quad \text{và} \quad AE = e
\]
Do đó,
\[
a - d = e \quad \Rightarrow \quad d + e = a
\]

Diện tích tam giác \( MDE \) được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_M(y_D - y_E) + x_D(y_E - y_M) + x_E(y_M - y_D) \right|
\]

Thay các tọa độ vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2} (d - 0) + 0(0 - \frac{a}{2}) + e\left(\frac{a}{2} - d\right) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{ad}{2} + e\left(\frac{a}{2} - d\right) \right|
\]
Thay \( e = a - d \):
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{ad}{2} + (a - d)\left(\frac{a}{2} - d\right) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{ad}{2} + a\frac{a}{2} - ad - d^2 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{a^2}{2} - \frac{ad}{2} - d^2 \right|
\]
\[
= \frac{1}{4} \left| a^2 - ad - 2d^2 \right|
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích này theo \( d \), ta xác định đạo hàm của biểu thức:
\[
f(d) = a^2 - ad - 2d^2
\]
\[
f'(d) = -a - 4d
\]

Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
\[
-a - 4d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -\frac{a}{4}
\]
Vì \( d \) phải nằm trong khoảng \( [0, a] \), ta sẽ tính giá trị tại các đầu mút:
- Tại \( d = 0 \):
\[
f(0) = a^2
\]
- Tại \( d = a \):
\[
f(a) = a^2 - a^2 - 2a^2 = -2a^2
\]
- Tại \( d = \frac{a}{2} \):
\[
f\left(\frac{a}{2}\right) = a^2 - \frac{a^2}{2} - 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0
\]

Diện tích tại giá trị nhỏ nhất cho \( d = \frac{a}{2} \) cho ra diện tích:
\[
S = \frac{1}{4} \times 0 = 0
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \( MDE \) là:
\[
\boxed{0}
\]