Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần theo thứ tự.

### a) Chứng minh góc \( AEH = KEH \)

1. Ta có \( AH \perp BC \), do đó \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
2. Kẻ \( AK \) trên tia đối của \( HA \), và vì \( HK = HA \), nên \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AK \).
3. Bây giờ, xét tam giác vuông \( AHE \) và \( KHE \):
- Trong tam giác \( AHE \), \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- Trong tam giác \( KHE \), cũng có \( \angle KHE = 90^\circ \).
4. Từ việc \( HK = HA \), chúng ta có:
- \( AH \) và \( HK \) là hai đoạn thẳng bằng nhau, và đều vuông góc với \( BC \).
5. Như vậy, từ \( AEH \) và \( KEH \) đều có cùng một độ dài cạnh và đều vuông góc với cạnh \( BC \), ta có thể kết luận rằng:
\[
\angle AEH = \angle KEH
\]

### b) Chứng minh tam giác \( ACE = DBE \)

1. Lấy điểm \( D \) trên tia đối của \( EA \) sao cho \( ED = EA \).
2. Ta có:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \).
- Từ phần a, ta đã chứng minh \( \angle AEH = \angle KEH \).
3. Ta sẽ sử dụng hai tam giác:
- Tam giác \( ACE \) với \( E \) nằm giữa \( AC \) và \( A \) khi so với góc tại \( A \).
- Tam giác \( DBE \) cũng tương tự như vậy.
4. Chứng minh:
- \( AE = ED \) (Định nghĩa).
- \( BE = CE \) (Vì \( E \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( \angle AEC = \angle DBC \) (Cùng một góc).
5. Sử dụng định nghĩa của tam giác đồng dạng:
- Vậy ta có tam giác \( ACE \) đồng dạng với tam giác \( DBE \).

### c) Chứng minh \( AC = BD = CK \)

1. Từ vị trí đã chứng minh ở phần b, ta có:
- \( AC \) và \( BD \) đều là cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng, do đó:
\[
AC = BD
\]
2. Do \( K \) được tìm thấy là \( HK = HA \) và \( HK \) là chiều dài của đoạn \( AC \) đã được đưa đến \( DK \) mà không thay đổi độ dài.
3. Ta có:
- \( AC = CK \) vì \( K \) tạo thành một tam giác mới với \( C \) và hộp số \( H \) với chiều dài bằng nhau.

Vậy, ta đã chứng minh \( AC = BD = CK \).

Như vậy, các phần a, b, c đã được chứng minh theo đúng yêu cầu của bài toán.