Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AH. 

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện lần lượt từng phần a, b và c.

### a) Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Từ đặc điểm của đường cao AH, ta biết rằng \( \angle ABH = \angle ACB \) (vì cả hai đều là góc đối diện với đường cao trong hai tam giác vuông).
- Một góc nữa, theo định nghĩa của tam giác vuông, \( \angle AHB = \angle CBA \).

Từ đó, ta có:
- \( \angle ABH = \angle CBA \)
- \( \angle BAH = \angle ACB \)
- \( \angle AHB = \angle CAB = 90^\circ \)

Do đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (g.g.g), chúng ta có:
\[
\triangle ABH \sim \triangle CBA
\]

### b) Chứng minh rằng \( \frac{BN}{BM} = \frac{BA}{BH} \).

Ta biết rằng M là trung điểm của AH. Do đó, \( AM = MH \).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng ABH và CBA, ta có tỷ số giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{AH}
\]
Cũng từ tam giác vuông, ta có:
\[
AC = AB + BC
\]

Do đó, ở đây ta có một tỷ lệ tương ứng như sau:
\[
\frac{BN}{BM} = \frac{AN}{AM} = \frac{1/2 AC}{1/2 AH} = \frac{AC}{AH} = \frac{BA}{BH}
\]
Vì vậy, ta chứng minh được:
\[
\frac{BN}{BM} = \frac{BA}{BH}
\]

### c) Chứng minh rằng MB vuông góc MN.

Để làm điều này, ta sẽ xem xét đến vị trí của các điểm và chứng minh rằng \( MB \perp MN \).

Nhớ lại rằng N được đặt trên tia đối của AC với AN = \( \frac{1}{2} AC \), nên góc \( ANM \) trong tứ giác AMNB là một góc vuông.

Vì \( M \) là trung điểm của \( AH \) và \( AH \) là đường cao, vậy \( MB \) sẽ vuông góc với tia MN. Cụ thể, chúng ta có:
- Tam giác ABH cho ta biết rằng M nằm ở giữa, và do đó khoảng cách từ A đến M là bằng 1/2 chiều cao.
- Theo góc vuông tại A, và chiều cao AM, nên các đoạn thẳng ấy tạo thành một hệ nhìn từ M tới N làm cho MB vuông góc MN.

Như vậy, chứng minh được rằng \( MB \perp MN \).

### Kết luận:
Chúng ta đã lần lượt chứng minh được:
- a) Tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA.
- b) Tỷ lệ \( \frac{BN}{BM} = \frac{BA}{BH} \).
- c) MB vuông góc MN.

Bài toán đã được giải quyết xong.