Để tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình

\[
x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2,
\]

ta sẽ biến đổi phương trình này.

Trước tiên, chúng ta nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
x^2 + 2xy + 2y^2 + y - 2 = 0.
\]

Chúng ta sẽ sắp xếp lại và cố gắng biểu diễn phương trình theo dạng dễ giải hơn. Để làm điều này, ta có thể coi x như một biến và giải phương trình bậc hai theo x:

\[
x^2 + 2xy + (2y^2 + y - 2) = 0.
\]

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]

với \(a = 1\), \(b = 2y\), và \(c = 2y^2 + y - 2\):

\[
x = \frac{-2y \pm \sqrt{(2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2 + y - 2)}}{2 \cdot 1}.
\]

Giải biểu thức bên dưới căn:

\[
(2y)^2 - 4(2y^2 + y - 2) = 4y^2 - 8y^2 - 4y + 8 = -4y^2 - 4y + 8.
\]

Vậy ta có:

\[
x = -y \pm \sqrt{-y^2 - y + 2}.
\]

Để x là số nguyên, biểu thức dưới căn phải là một số chính phương. Do đó, ta cần giải phương trình:

\[
-y^2 - y + 2 = k^2,
\]

với \(k\) là một số nguyên. Sắp xếp lại, ta có:

\[
y^2 + y + (k^2 - 2) = 0.
\]

Tính delta của phương trình này:

\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 - 2) = 1 - 4k^2 + 8 = 9 - 4k^2.
\]

Để phương trình có nghiệm, \(\Delta\) phải không âm:

\[
9 - 4k^2 \geq 0 \Rightarrow 4k^2 \leq 9 \Rightarrow |k| \leq \frac{3}{2}.
\]

Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k\) có thể nhận các giá trị: \(-1, 0, 1\).

**Xét từng trường hợp:**

1. **\(k = 0\):**

\[
y^2 + y - 2 = 0 \Rightarrow (y-1)(y+2) = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ hoặc } y = -2.
\]

- Nếu \(y = 1\):

\[
x = -1 \pm \sqrt{0} \Rightarrow x = -1.
\]

Cặp (x, y): \((-1, 1)\).

- Nếu \(y = -2\):

\[
x = 2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 0} \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = 0.
\]

Cặp (x, y): \((2, -2), (0, -2)\).

2. **\(k = 1\):**

\[
y^2 + y - 1 = 0
\]

Delta:

\(\Delta = 1 - 4 \cdot (-1) = 5\) (có nghiệm không nguyên).

3. **\(k = -1\):**

\[
y^2 + y - 1 = 0,
\]

cũng như trường hợp \(k = 1\) và cũng cho nghiệm không nguyên.

Từ đó, cặp thỏa mãn là:

\[
(-1, 1), (2, -2), (0, -2).
\]

Vậy tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:

\[
(-1, 1), (2, -2), (0, -2).
\]