Để tính giá trị của các biểu thức trong hình vuông ABCD với cạnh a, ta sử dụng các vector tương ứng với các cạnh và tính toán như sau:

1. **a)** Tính giá trị của \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} \):
- \( \overline{AB} = a \) (cạnh của hình vuông)
- \( \overline{AC} = a\sqrt{2} \) (đường chéo của hình vuông tính theo định lý Pitago: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \))
- Do hai cạnh \( \overline{AB} \) và \( \overline{AC} \) vuông góc nhau, \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(90^\circ) = 0 \)

2. **b)** Tính giá trị của \( \overline{AC} \cdot \overline{BD} \):
- \( \overline{BD} = a\sqrt{2} \) (tương tự như trên)
- Cả hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \) cũng vuông góc nhau, nên \( \overline{AC} \cdot \overline{BD} = a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos(90^\circ) = 0 \)

3. **c)** Tính giá trị của \( \overline{AC} \left( \overline{AB} + \overline{AD} \right) \):
- \( \overline{AD} = a \) (cạnh của hình vuông)
- \( \overline{AB} + \overline{AD} = a + a = 2a \)
- Vậy, \( \overline{AC} \left( \overline{AB} + \overline{AD} \right) = a\sqrt{2} \cdot 2a = 2a^2\sqrt{2} \)

Tóm lại:
- a) \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = 0 \)
- b) \( \overline{AC} \cdot \overline{BD} = 0 \)
- c) \( \overline{AC} \left( \overline{AB} + \overline{AD} \right) = 2a^2\sqrt{2} \)