Để tìm giá trị của \( n \) sao cho \( 2^{5n} + 1 \) chia hết cho 31, chúng ta có thể sử dụng Định lý Fermat về số nguyên tố.

Theo Định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Trong trường hợp này, \( p = 31 \) và \( a = 2 \). Do đó, chúng ta có:

\[
2^{30} \equiv 1 \mod 31
\]

Ta cần tìm \( n \) sao cho \( 2^{5n} + 1 \equiv 0 \mod 31 \), tức là:

\[
2^{5n} \equiv -1 \mod 31
\]

Như vậy, \( 2^{5n} \equiv 30 \mod 31 \). Theo định lý Fermat, \( 2^{30} \equiv 1 \), nghĩa là:

- \( 2^{5n} \equiv -1 \) có thể xảy ra nếu \( 5n \equiv 15 \mod 30 \) (vì \( (-1)^2 \equiv 1 \)).
- Từ \( 5n \equiv 15 \) ta sẻ làm đơn giản hóa:

\[
5n = 15 + 30k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Chia cả hai vế cho 5, ta có:

\[
n = 3 + 6k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Do đó, các giá trị của \( n \) là:

\[
n = 3, 9, 15, 21, \ldots
\]

Kết luận: Các giá trị nguyên của \( n \) thỏa mãn \( 2^{5n} + 1 \) chia hết cho 31 có dạng \( n = 3 + 6k \) với \( k \) là số nguyên bất kỳ.