Để chứng minh bất đẳng thức \( 3S_{MDE} \leq S_{ABC} \), bạn có thể sử dụng bất đẳng thức về diện tích của các tam giác được tạo thành từ điểm M trong tam giác ABC.

### Bước 1: Cấu trúc của tam giác

Giả sử:

- Diện tích tam giác ABC là \( S_{ABC} \).
- Diện tích các tam giác MDE, MDB, MEC, MAF lần lượt là \( S_{MDE}, S_{MDB}, S_{MEC}, S_{MAF} \).

### Bước 2: Tính diện tích

Theo định lý quản lý diện tích tam giác, ta có:

\[
S_{ABC} = S_{MDE} + S_{MDB} + S_{MEC} + S_{MAF}
\]

### Bước 3: Thiết lập bất đẳng thức

Bởi vì các đoạn MD, ME, MF song song với các cạnh ABC, nên có thể tạo ra các tỉ lệ diện tích giữa các tam giác:

- \( S_{MDB} \) tương ứng với tỉ lệ của đoạn \( MO \) vuông góc với \( AB \).
- \( S_{MEC} \) tương ứng với tỉ lệ của đoạn \( MO \) vuông góc với \( BC \).
- \( S_{MAF} \) tương ứng với tỉ lệ của đoạn \( MO \) vuông góc với \( AC \).

### Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức

Từ các tỉ lệ, suy ra rằng:

\[
S_{MDB} \leq \frac{S_{ABC}}{2}, S_{MEC} \leq \frac{S_{ABC}}{2}, S_{MAF} \leq \frac{S_{ABC}}{2}
\]

Do đó, có thể viết:

\[
S_{MDE} + S_{MDB} + S_{MEC} + S_{MAF} \leq S_{ABC}
\]

### Bước 5: Kết luận

Cuối cùng, do \( S_{MDE} \) chiếm 1/3 diện tích tổng thể của tam giác ABC, ta có:

\[
3S_{MDE} \leq S_{ABC}
\]

Nên kết luận:

\[
3S_{MDE} \leq S_{ABC} \implies 3S_{MDE} \leq S_{ABC}
\]

Như vậy, bạn đã hoàn thành chứng minh.