Để tìm các số \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình:

\[
x^{2} - 2xy + 6y^{2} - 12x + 2y + 41 = 0,
\]

chúng ta có thể xem xét phương trình này như một phương trình bậc hai đối với \(x\).

Phương trình có thể được viết lại như sau:

\[
x^2 - (2y + 12)x + (6y^2 + 2y + 41) = 0.
\]

Để phương trình có nghiệm, discriminant (định thức) của phương trình bậc hai này phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
D = (2y + 12)^2 - 4(6y^2 + 2y + 41).
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \(D\):

\[
D = (2y + 12)^2 - 4(6y^2 + 2y + 41).
\]

Tính toán từng phần:

\[
(2y + 12)^2 = 4y^2 + 48y + 144,
\]
\[
4(6y^2 + 2y + 41) = 24y^2 + 8y + 164.
\]

Do đó:

\[
D = 4y^2 + 48y + 144 - (24y^2 + 8y + 164).
\]

Kết hợp các hạng tử:

\[
D = 4y^2 + 48y + 144 - 24y^2 - 8y - 164,
\]
\[
D = -20y^2 + 40y - 20.
\]

Rút gọn:

\[
D = -20(y^2 - 2y + 1) = -20(y - 1)^2.
\]

Để D ≥ 0, ta có:

\[
-20(y - 1)^2 \geq 0.
\]

Điều này chỉ xảy ra khi \((y - 1)^2 = 0\), tức là \(y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình bậc hai để tìm \(x\):

\[
x^2 - (2(1) + 12)x + (6(1)^2 + 2(1) + 41) = 0,
\]
\[
x^2 - 14x + 49 = 0.
\]

Phương trình này có nghiệm:

\[
(x - 7)^2 = 0 \implies x = 7.
\]

Vậy các số \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình là:

\[
x = 7, \quad y = 1.
\]