Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Để chứng minh các phần a, b và c của đề bài, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính của tam giác và các đường trung tuyến.

### a/ Chứng minh \( \tan(\angle AMB) = \tan(\angle DMC) \)

Trước hết, ta có \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), do đó \( MB = MC \).

Xét tam giác \( AMB \) và \( DMC \):

1. Do định nghĩa điểm \( D \), ta có \( MA = MD \). Như vậy, \( \triangle AMB \) và \( \triangle DMC \) có cạnh \( MA = MD \) và cạnh \( MB = MC \).
2. Ta cần chứng minh rằng \( \angle AMB = \angle DMC \).

Từ điều này, ta có thể tính:

\[
\tan(\angle AMB) = \frac{h_{1}}{MB} \quad \text{với } h_{1} \text{ là chiều cao từ } A \text{ xuống } MB
\]

\[
\tan(\angle DMC) = \frac{h_{2}}{MC} \quad \text{với } h_{2} \text{ là chiều cao từ } D \text{ xuống } MC
\]

Từ \( \triangle AMB \) và \( \triangle DMC \), có thể thấy rằng chiều cao từ \( A \) xuống \( MB \) và chiều cao từ \( D \) xuống \( MC \) đều bằng nhau (bởi vì \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \)). Do đó:

\[
\tan(\angle AMB) = \tan(\angle DMC)
\]

### b/ Chứng minh \( AB \parallel CE \)

Gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \), trên tia đối của \( NB \) lấy \( E \) sao cho \( NE = NB \).

1. Ta có \( NB = NE \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).
2. Tam giác \( ANB \) và \( CNE \) có độ dài hai cạnh \( AN = NC \) (do \( N \) là trung điểm) và \( NB = NE \).
3. Hơn nữa, \( \angle ANB = \angle CNE \) (bởi vì \( E \) được xây dựng trên tia đối của \( N \)).
4. Do đó, hai tam giác \( ANB \) và \( CNE \) đồng dạng \( \Rightarrow \frac{AB}{CE} = \frac{AN}{CN} \).

Từ đó suy ra \( AB \parallel CE \).

### c/ Chứng minh 3 điểm \( E, C, D \) thẳng hàng

Ta đã chứng minh rằng \( AB \parallel CE \) và \( CD \) cũng song song với một đường thẳng khác (đường thẳng đi qua \( C \) và trung điểm \( M \)).

1. Do tính chất của hai đường thẳng song song, ta có được rằng \( CD \) cắt \( CE \) tại cùng một điểm, tức là \( E, C, D \) sẽ thẳng hàng.

Tóm lại, từ những lập luận trên, ta có:
- \( \tan(\angle AMB) = \tan(\angle DMC \) (phần a)
- \( AB \parallel CE \) (phần b)
- \( E, C, D \) thẳng hàng (phần c).

Đây là các kết quả chúng ta cần chứng minh.