Để giải bài toán, ta sẽ bắt đầu phần a) với hệ đẳng thức:

\[
k = \frac{y+z+1}{x} = \frac{z+x+2}{y} = \frac{x+y-3}{z} = \frac{1}{x+y+z}
\]

Từ đó, ta có thể thiết lập các phương trình từ mỗi phần tử của hệ đẳng thức trên:

1. \( y + z + 1 = kx \)
2. \( z + x + 2 = ky \)
3. \( x + y - 3 = kz \)
4. \( x + y + z = \frac{1}{k} \)

Bây giờ ta có thể giải các phương trình này để tìm giá trị của \(x, y, z\).

### Bước 1: Biểu diễn \(y\) và \(z\) theo \(x\)

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y + z = kx - 1 \quad (1)
\]

Từ phương trình (2):

\[
z + x = ky - 2 \quad \Rightarrow \quad z = ky - 2 - x \quad (2)
\]

Thay độc lập \(z\) từ (2) vào (1):

\[
y + (ky - 2 - x) = kx - 1
\]

Giải phương trình này:

\[
y + ky - 2 - x = kx - 1
\]
\[
(1 + k)y = (k + 1)x + 1
\]
\[
y = \frac{(k + 1)x + 1}{1 + k} \quad (3)
\]

### Bước 2: Tìm \(z\) thông qua \(y\)

Thay \(y\) từ (3) vào (2):

\[
z = k\left(\frac{(k + 1)x + 1}{1 + k}\right) - 2 - x
\]
\[
= \frac{k(k + 1)x + k - 2(1 + k) - x(1 + k)}{1 + k}
\]
\[
= \frac{(k^2 - 1)x + (k - 2k - 2)}{1 + k}
\]
\[
= \frac{(k^2 - 1)x - (k + 2)}{1 + k}
\]

### Bước 3: Sử dụng phương trình thứ tư

Thay \(y\) và \(z\) từ (3) và (2) vào phương trình (4):

\[
x + \frac{(k + 1)x + 1}{1 + k} + \frac{(k^2 - 1)x - (k + 2)}{1 + k} = \frac{1}{k}
\]

Giải phương trình này, rồi từ đó tìm ra \(x, y, z\).

### Phần b) Tìm \(x, y\)

Chúng ta có:

\[
2022 \cdot |2x - 1| + 5(x + 2y)^{2022} = 0
\]

Vì biểu thức phải bằng 0, nên:

- \(2022 \cdot |2x - 1| = 0\) \(\Rightarrow |2x - 1| = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
- \(5(x + 2y)^{2022} = 0 \Rightarrow (x + 2y)^{2022} = 0 \Rightarrow x + 2y = 0\)

Thay \(x = \frac{1}{2}\):

\[
\frac{1}{2} + 2y = 0 \Rightarrow 2y = -\frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{4}
\]

Vậy tóm lại:

- **Phần a)**: \(x, y, z\) cần được tìm bằng cách giải các phương trình.
- **Phần b)**: \(x = \frac{1}{2}\), \(y = -\frac{1}{4}\).