Để chứng minh các phần của bài toán với tam giác ABC và các trung điểm, chúng ta sẽ dùng định lý về trung điểm và đặc điểm của các đoạn thẳng liên quan.

### a. Chứng minh DF // BC và DE // BC

1. **Chứng minh DF // BC**:
- Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Theo định nghĩa, đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh trong tam giác sẽ song song với cạnh còn lại.
- Do đó, \(DE\) sẽ song song với \(BC\).

2. **Chứng minh DE // BC**:
- Tiếp tục từ định lý trên, ta đã có \(DF\) song song với \(BC\).
- Vì \(F\) là trung điểm của \(AM\), lại có \(DE\) cũng song song với \(BC\) (vì \(DE\) nằm trong tam giác \(ABC\) và nối các trung điểm của hai cạnh \(AB\) và \(AC\)).
- Như vậy, \(DF \parallel BC\) và \(DE \parallel BC\).

### b. Chứng minh DF = EF

1. **Đoạn DF**: Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là trung điểm của \(AM\), nên đoạn \(DF\) sẽ là nửa đoạn \(DA\).

2. **Đoạn EF**: Tương tự, vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(F\) là trung điểm của \(AM\), đoạn \(EF\) cũng sẽ là nửa đoạn \(EA\).

3. **So sánh**:
- Do \(D\) và \(E\) đều là trung điểm của đoạn \(AB\) và \(AC\) (tức là độ dài của \(AD = DB\) và \(AE = EC\)), và \(F\) là trung điểm của \(AM\) (tức là đoạn \(AF = FM\)).
- Do đó, \(DF = EF\) (bởi vì cả hai đều bằng nửa chiều dài của \(AM\)).

Như vậy, từ những phân tích trên, ta có kết luận:
- DF // BC và DE // BC.
- DF = EF.

Hai phần bài toán đã được chứng minh hoàn tất.