Để chứng minh rằng hai véc tơ \(\vec{a} = \vec{e_1}\) và \(\vec{b} = \vec{e_2}\) vuông góc với nhau và \(|\vec{a}| = 1\) và \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Tính tích vô hướng:** Hai véc tơ vuông góc nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Cụ thể, ta có:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)
\]
Với \(\theta\) là góc giữa hai véc tơ. Vì \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc, \(\cos(\theta) = 0\) dẫn đến \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

2. **Kiểm tra độ dài:**
- Đối với \(\vec{a}\):
\[
|\vec{a}| = 1
\]
- Đối với \(\vec{b}\):
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2}
\]

3. **Chứng minh rằng \((2\vec{a} - \vec{b})\) và \((\vec{a} + \vec{b})\) vuông góc với nhau.**

Tính tích vô hướng của hai véc tơ:
\[
(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}
\]

Biết rằng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\):
\[
= 2|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 2 - 2 = 0
\]

Vì tích vô hướng bằng 0, ta kết luận rằng \((2\vec{a} - \vec{b})\) và \((\vec{a} + \vec{b})\) vuông góc với nhau.

Vậy đã chứng minh xong.