Để giải bài này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 1

Cho biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sqrt{x} - 1} \).

#### b) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = \frac{9}{4} \)

1. Tính \( \sqrt{x} \):
\[
\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}
\]

2. Tìm \( \sqrt{x+1} \):
\[
x + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}
\]
\[
\sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}
\]

3. Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{\frac{\sqrt{13}}{2} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{2}{2}}{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{13} - 2}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{13} - 2
\]

Vậy, \( A \) khi \( x = \frac{9}{4} \) là \( \sqrt{13} - 2 \).

#### c) Tìm \( x \) để \( A = 5 \)

1. Đặt phương trình:
\[
\frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sqrt{x} - 1} = 5
\]

2. Nhân chéo:
\[
\sqrt{x+1} - 1 = 5(\sqrt{x} - 1)
\]
\[
\sqrt{x+1} - 1 = 5\sqrt{x} - 5
\]
\[
\sqrt{x+1} = 5\sqrt{x} - 4
\]

3. Bình phương cả hai vế:
\[
x + 1 = (5\sqrt{x} - 4)^2
\]
\[
x + 1 = 25x - 40\sqrt{x} + 16
\]
\[
0 = 24x - 40\sqrt{x} + 15
\]

Đặt \( y = \sqrt{x} \):
\[
0 = 24y^2 - 40y + 15
\]

Sử dụng công thức nghiệm bậc hai:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 24 \cdot 15}}{2 \cdot 24}
\]
\[
= \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1440}}{48} = \frac{40 \pm \sqrt{160}}{48} = \frac{40 \pm 4\sqrt{10}}{48} = \frac{10 \pm \sqrt{10}}{12}
\]

4. Tính giá trị tương ứng với \( x \):
\[
x = y^2 = \left(\frac{10 \pm \sqrt{10}}{12}\right)^2
\]

Vậy, bạn có thể tính cụ thể giá trị của \( x \) từ hai nghiệm này.